• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Giải bài tập Toán 11 / Giải bài tập Bài 2 Giới hạn của hàm số – Giải tích 11 cơ bản

Giải bài tập Bài 2 Giới hạn của hàm số – Giải tích 11 cơ bản

04/01/2021 by admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 11 Tag với:GBT dai so 11 chuong 4

Giải bài tập Bài 2 Giới hạn của hàm số – Giải tích 11 cơ bản

======

Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x – 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Giải:

a) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{3x – 2}\) xác định trên \(\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\) và ta có \(x = 4 \in \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \).

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} – 2} = \frac{4 + 1}{3. 4 – 2} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\frac{x +1}{3x – 2}\) = \(\frac{1}{2}\).

b) Hàm số \(f(x)\) = \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5\).

Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).

===============

Bài 2. Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).

Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\) ?

Hướng dẫn  giải:

Ta có \(\lim u_n\)= \(\lim \frac{1}{n}= 0\); \(\lim v_n= \lim (-\frac{1}{n}) = 0\).

Do \(u_n=\frac{1}{n} > 0\) và \(v_n= -\frac{1}{n} < 0\) với \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)

, nên \(f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n}\).

Từ đó \( \lim f(u_n)= \lim (\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1) = 1\); \(\lim f(v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).

Vì \(u_n→ 0\) và \(v_n → 0\), nhưng \(\lim f(u_n) ≠  \lim f(v_n)\) nên hàm số \(y = f(x)\) không có giới hạn khi
\(x → 0\).

================

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);

d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\) = \(\frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4\).

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim} (2-x) = 4\).

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{(\sqrt{x + 3}-3)(\sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\)
= \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{x +3-9}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}\) = \(\frac{1}{6}\).

d)  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\) =  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1} = -2\).

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1} = 0\) vì \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\)  \((x^2+ 1) =\) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} x^2( 1 + \frac{1}{x^{2}}) = +∞\).

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\) = \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -∞\), vì \(\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x} > 0\) với \(∀x>0\).

==================

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (x – 2)^2= 0\) và \((x – 2)^2> 0\) với \(∀x ≠ 2\) và \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = +∞\).

b) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (x – 1)=0\) và \(x – 1 < 0\) với \(∀x < 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 <0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{2x -7}{x-1} = +∞\).

c) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (x – 1) = 0\) và \(x – 1 > 0\) với \(∀x > 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 < 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}= -∞\).

==============

Bài 5. Cho hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

Giải bài tập SGK Bài 2: Giới hạn của hàm số

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\); khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → -∞\);

khi \(x → -3^+\) thì \(f(x)  → +∞\).

b) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\) \(\frac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\) \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{9}{x^{2}}} = 0\).

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x^{2}-9}\)  =  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3} = -∞ \) vì  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x+3}\) = \(\frac{5}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \frac{1}{x-3} = -∞\).

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x-3}\) . \(\frac{1}{x+3} = +∞\)
vì  \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x-3}\) = \(\frac{-1}{-6}\) = \(\frac{1}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{1}{x+3} = +∞\).

===============

Bài 6. Tính:

\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1) \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5) \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5}) \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 – 2x}} \cr} \)

Giải:

\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 – {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} – {1 \over {{x^4}}}} \right) = + \infty \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( { – 2 + {1 \over x} – {5 \over {{x^2}}}} \right) = + \infty \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } |x|\sqrt {1 – {2 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} = + \infty \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {{5 \over x} – 2}} = – 1 \cr} \)

=============

Bài 7. Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d’\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A’B’\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d’}=\frac{1}{f}.\)

Giải bài tập SGK Bài 2: Giới hạn của hàm số

a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d’ = φ(d)\).

b) Tìm \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{\lim} φ(d)\), \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{\lim} φ(d)\) và \(\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim} φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Giải:

a) Từ hệ thức \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d’}=\frac{1}{f}.\)suy ra \(d’ = φ(d) = \frac{fd}{d-f}\).

b)

+) \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{lim} φ(d) = \underset{d\rightarrow f^{+} }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f}= +∞\) .

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.

+) \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}φ(d) =\) \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f} = -∞\).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.

+) \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim} φ(d) =\) \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f}\) = \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{f}{1-\frac{f}{d}} = f\).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc với trục chính).

======

Bài 2: Giới hạn của hàm số

gbt dai so 11 co ban
gbt dai so 11 co ban
gbt dai so 11 co ban
gbt dai so 11 co ban

gbt dai so 11 co ban
gbt dai so 11 co ban

Bài liên quan:

  • Giải bài tập Bài 1 Giới hạn của dãy số – Giải tích 11 cơ bản
  • Giải bài tập Bài 3 Hàm số liên tục – Giải tích 11 cơ bản
  • Giải bài tập Ôn chương 4 GIỚI HẠN – Giải tích 11 cơ bản

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Giải bài tập Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – Đại số 11 cơ bản
  • Giải bài tập Chương II: TỔ HỢP VÀ XÁC XUẤT – Đại số 11 cơ bản
  • Giải bài tập Chương III.  DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN – Đại số 11 cơ bản
  • Giải bài tập Chương IV: GIỚI HẠN – Giải tích 11 cơ bản
  • Giải bài tập Chương V: ĐẠO HÀM – Giải tích 11 cơ bản
  • GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 CƠ BẢN – CHƯƠNG I Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
  • GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 CƠ BẢN – CHƯƠNG II Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
  • GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 CƠ BẢN – CHƯƠNG III Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
  • Giải Bài Tập Toán 11 nâng cao




Booktoan.com (2015 - 2020) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.