Giải bài tập Bài 2 Giới hạn của hàm số – Giải tích 11 cơ bản

Giải bài tập Bài 2 Giới hạn của hàm số – Giải tích 11 cơ bản

======

Bài 1.  Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{lim}\frac{x+1}{3x – 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{lim}\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Giải:

a) Hàm số \(f(x) = \frac{x +1}{3x – 2}\) xác định trên \(\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\) và ta có \(x = 4 \in \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \).

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} – 2} = \frac{4 + 1}{3. 4 – 2} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\frac{x +1}{3x – 2}\) = \(\frac{1}{2}\).

b) Hàm số \(f(x)\) = \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5\).

Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).

===============

Bài 2.  Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \frac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\frac{1}{n}\).

Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim (v_n)\).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\) ?

Hướng dẫn  giải:

Ta có \(\lim u_n\)= \(\lim \frac{1}{n}= 0\); \(\lim v_n= \lim (-\frac{1}{n}) = 0\).

Do \(u_n=\frac{1}{n} > 0\) và \(v_n= -\frac{1}{n} < 0\) với \(∀ n\in {\mathbb N}^*\)

, nên \(f(u_n)= \sqrt{\frac{1}{n}}+1\) và \(f(v_n) = -\frac{2}{n}\).

Từ đó \( \lim f(u_n)= \lim (\sqrt{\frac{1}{n}}+ 1) = 1\); \(\lim f(v_n)= lim (-\frac{2}{n}) = 0\).

Vì \(u_n→ 0\) và \(v_n → 0\), nhưng \(\lim f(u_n) ≠  \lim f(v_n)\) nên hàm số \(y = f(x)\) không có giới hạn khi
\(x → 0\).

================

Bài 3.  Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\);

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\);

d) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\);

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1}\);

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(\underset{x\rightarrow -3}{lim}\) \(\frac{x^{2 }-1}{x+1}\) = \(\frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4\).

b) \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{4-x^{2}}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim}\) \(\frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}\) = \(\underset{x\rightarrow -2}{lim} (2-x) = 4\).

c) \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{\sqrt{x + 3}-3}{x-6}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{(\sqrt{x + 3}-3)(\sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\)
= \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{x +3-9}{(x-6) (\sqrt{x + 3}+3 )}\) = \(\underset{x\rightarrow 6}{lim}\) \(\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}\) = \(\frac{1}{6}\).

d)  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2x-6}{4-x}\) =  \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-\frac{6}{x}}{\frac{4}{x}-1} = -2\).

e) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{17}{x^{2}+1} = 0\) vì \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\)  \((x^2+ 1) =\) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim} x^2( 1 + \frac{1}{x^{2}}) = +∞\).

f) \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}\) = \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{-2+\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} +\frac{1}{x}} = -∞\), vì \(\frac{3}{x^{2}}+\frac{1}{x} > 0\) với \(∀x>0\).

==================

Bài 4.  Tính các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 2}{lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}}\);

b) \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\);

c) \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (x – 2)^2= 0\) và \((x – 2)^2> 0\) với \(∀x ≠ 2\) và \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim}\) \(\frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = +∞\).

b) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (x – 1)=0\) và \(x – 1 < 0\) với \(∀x < 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 <0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\lim}\frac{2x -7}{x-1} = +∞\).

c) Ta có \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (x – 1) = 0\) và \(x – 1 > 0\) với \(∀x > 1\) và \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{\lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 < 0\).

Do đó \(\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}\) \(\frac{2x -7}{x-1}= -∞\).

==============

Bài 5.  Cho hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x^{2}-9}\) có đồ thị như trên hình 53.

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x → -∞\), \(x → 3^-\) và \(x → -3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

\(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-\infty; -3)\),

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3,3)\),

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x)\) với \(f(x)\) được xét trên khoảng \((-3; 3)\).

Hướng dẫn giải

a) Quan sát đồ thị ta thấy \(x → -∞\) thì \(f(x) → 0\); khi \(x → 3^-\) thì \(f(x) → -∞\);

khi \(x → -3^+\) thì \(f(x)  → +∞\).

b) \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\) \(\frac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\) \(\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}{1-\frac{9}{x^{2}}} = 0\).

\(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x^{2}-9}\)  =  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x+3}.\frac{1}{x-3} = -∞ \) vì  \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{lim}\)\(\frac{x+2}{x+3}\) = \(\frac{5}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow 3^{-}}{\lim} \frac{1}{x-3} = -∞\).

\(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim} f(x) =\) \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x^{2}-9}\) = \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x-3}\) . \(\frac{1}{x+3} = +∞\)
vì  \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{x+2}{x-3}\) = \(\frac{-1}{-6}\) = \(\frac{1}{6} > 0\) và \(\underset{x\rightarrow -3^{+}}{lim}\) \(\frac{1}{x+3} = +∞\).

===============

Bài 6.  Tính:

\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1) \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5) \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5}) \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 – 2x}} \cr} \)

Giải :

\(\eqalign{
& a)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } ({x^4} – {x^2} + x – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 – {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}} – {1 \over {{x^4}}}} \right) = + \infty \cr
& b)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } ( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^3}\left( { – 2 + {1 \over x} – {5 \over {{x^2}}}} \right) = + \infty \cr
& c)\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (\sqrt {{x^2} – 2x + 5} ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } |x|\sqrt {1 – {2 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} = + \infty \cr
& d)\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + 1} + x} \over {5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {5 – 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \right)} \over {{5 \over x} – 2}} = – 1 \cr} \)

=============

Bài 7.  Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f\). Gọi \(d\) và \(d’\) lần lượt là khoảng cách từ một vật thật \(AB\) và từ ảnh \(A’B’\) của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d’}=\frac{1}{f}.\)

a) Tìm biểu thức xác định hàm số \(d’ = φ(d)\).

b) Tìm \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{\lim} φ(d)\), \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{\lim} φ(d)\) và \(\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim} φ(d)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Giải:

a) Từ hệ thức \(\frac{1}{d}+\frac{1}{d’}=\frac{1}{f}.\)suy ra \(d’ = φ(d) = \frac{fd}{d-f}\).

b)

+) \(\underset{d\rightarrow f^{+} }{lim} φ(d) = \underset{d\rightarrow f^{+} }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f}= +∞\) .

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.

+) \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}φ(d) =\) \(\underset{d\rightarrow f^{-} }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f} = -∞\).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.

+) \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim} φ(d) =\) \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{fd}{d-f}\) = \(\underset{d\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{f}{1-\frac{f}{d}} = f\).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc với trục chính).

======

Bài 2: Giới hạn của hàm số