Cho hàm số $ y=f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa điều kiên $ f\left( x^3+3x+1 \right)=3x+2,\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính tích phân $I=\displaystyle\int_1^5{x.f’\left( x \right)\textrm{ d}x}$

Lời Giải:

Xét $I=\displaystyle\int_1^5{x.f’\left( x \right)\textrm{ d}x}$. Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& \textrm{ d}v=f’\left( x \right)\textrm{ d}x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \textrm{ d}u=\textrm{ d}x \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$

Vậy $I=\left. x.f\left( x \right) \right|_1^5-\displaystyle\int_1^5{f\left( x \right)\textrm{ d}x}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Mặt khác ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x^3+3x+1=5 \\
& x^3+3x+1=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
vậy $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 5 \right)=5 \\
& f\left( 1 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$

Do đó $I=5f\left( 5 \right)-f(1)-\displaystyle\int_1^5{f\left( x \right)\textrm{ d}x}=23-J$\\
Với $J=\displaystyle\int_1^5{f\left( x \right)\textrm{ d}x}$. Đặt $ x=t^3+3t+1\Rightarrow \textrm{ d}x=\left( 3t^2+3 \right)\textrm{ d}t$

$J=\displaystyle\int_0^1{\left( 3t^2+3 \right)f\left( t^3+3t+1 \right)}.\textrm{ d}t=\displaystyle\int_0^1{\left( 3t^2+3 \right)\left( 3t+2 \right)}.\textrm{ d}t=\dfrac{59}{4}$

Vậy $I=23-\dfrac{59}{4}=\dfrac{33}{4}$