XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
+ Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {a^2}\sin {90^0} + {b^2}\cos {90^0} + {c^2}\cos {180^0}.$
b) $B = 3 – {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} – 3{\tan ^2}{45^0}.$
c) $C = {\sin ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{50^0}$ $ + 3{\cos ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{40^0}$ $ + 4\tan {55^0}.\tan {35^0}.$

a) $A = {a^2}.1 + {b^2}.0 + {c^2}.( – 1)$ $ = {a^2} – {c^2}.$
b) $B = 3 – {(1)^2} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ $ – 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 1.$
c) $C = {\sin ^2}{45^0} + 3{\cos ^2}{45^0}$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)$ $ + 4\tan {55^0}.\cot {55^0}.$
$C = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $ – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\cos }^2}{{40}^0}} \right) + 4$ $ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} – 2 + 4 = 4.$

Ví dụ 2 : Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = {\sin ^2}{3^0} + {\sin ^2}{15^0}$ $ + {\sin ^2}{75^0} + {\sin ^2}{87^0}.$
b) $B = \cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0}$ $ + \ldots + \cos {160^0} + \cos {180^0}.$
c) $C = \tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0} \ldots \tan {80^0}\tan {85^0}.$

a) $A = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\sin }^2}{{87}^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\sin }^2}{{75}^0}} \right).$
$ = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\cos }^2}{3^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right).$
$ = 1 + 1 = 2.$
b) $B = \left( {\cos {0^0} + \cos {{180}^0}} \right)$ $ + \left( {\cos {{20}^0} + \cos {{160}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} + \cos {{100}^0}} \right).$
$ = \left( {\cos {0^0} – \cos {0^0}} \right)$ $ + \left( {\cos {{20}^0} – \cos {{20}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} – \cos {{80}^0}} \right).$
$ = 0.$
c) $C = \left( {\tan {5^0}\tan {{85}^0}} \right)$$\left( {\tan {{15}^0}\tan {{75}^0}} \right)$$ \cdots \left( {\tan {{45}^0}\tan {{45}^0}} \right).$
$ = \left( {\tan {5^0}\cot {5^0}} \right)$$\left( {\tan {{15}^0}\cot {{15}^0}} \right)$$ \ldots \left( {\tan {{45}^0}\cot {{45}^0}} \right).$
$ = 1.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A = \sin {45^0} + 2\cos {60^0}$ $ – \tan {30^0} + 5\cot {120^0}$ $ + 4\sin {135^0}.$
b) $B = 4{a^2}{\sin ^2}{45^0}$ $ – 3{\left( {a\tan {{45}^0}} \right)^2} + {\left( {2a\cos {{45}^0}} \right)^2}.$
c) $C = {\sin ^2}{35^0} – 5{\sin ^2}{73^0}$ $ + {\cos ^2}{35^0} – 5{\cos ^2}{73^0}.$
d) $D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{76}^0}}}$ $ – 5\tan {85^0}\cot {95^0} + 12{\sin ^2}{104^0}.$
e) $E = {\sin ^2}{1^0} + {\sin ^2}{2^0}$ $ + \ldots + {\sin ^2}{89^0} + {\sin ^2}{90^0}.$
f) $F = {\cos ^3}{1^0} + {\cos ^3}{2^0} + {\cos ^3}{3^0}$ $ + \ldots + {\cos ^3}{179^0} + {\cos ^3}{180^0}.$

a) $A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $ – 5.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 4.\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ = 1 + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} – 2\sqrt 3 .$
b) $B = 4{a^2}.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ $ – 3{a^2} + {(\sqrt 2 a)^2} = {a^2}.$
c) $C = \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right)$ $ – 5\left( {{{\sin }^2}{{75}^0} + {{\cos }^2}{{75}^0}} \right)$ $ = 1 – 5 = – 4.$
d) $D = 12{\cos ^2}{76^0}$ $ + 5\tan {85^0}.\cot {85^0}$ $ + 12{\sin ^2}{76^0}$ $ = 12 + 5 = 17.$
e) $E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\sin }^2}{{89}^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\sin }^2}{{88}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\sin }^2}{{46}^0}} \right)$ $ + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{90^0}.$
$E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\cos }^2}{1^0}} \right)$ $ + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\cos }^2}{2^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\cos }^2}{{44}^0}} \right)$ $ + \frac{1}{2} + 1.$
$E = \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{44\:{\rm{số}}} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{{91}}{2}.$
f) $F = \left( {{{\cos }^3}{1^0} + {{\cos }^3}{{179}^0}} \right)$ $ + \ldots + \left( {{{\cos }^3}{{89}^0} + {{\cos }^3}{{91}^0}} \right)$ $ + {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}.$
$F = {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}$ $ = 0 – 1 = – 1.$

Bài 2 : Tính giá trị của biểu thức sau: $P = $ $4\tan \left( {x + {4^0}} \right).\sin x.\cot \left( {4x + {{26}^0}} \right)$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left( {{3^0} – x} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( {5x + {3^0}} \right)}}$ $ + 8{\cos ^2}\left( {x – {3^0}} \right)$ khi $x = {30^0}.$

Thay vào ta có: $P = $ $4\tan {34^0}.\sin {30^0}.\cot {146^0}$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left( { – {{27}^0}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}{{153}^0}}}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}.$
$P = – 4.\tan {34^0}.\frac{1}{2}.\cot {34^0}$ $ + 8{\tan ^2}{27^0}.{\cos ^2}{27^0}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}$ $ = – 2 + 8 = 6.$