Đề thi mẫu HK1 Toán lớp 10 – số 3

Đề thi mẫu HK1 Toán lớp 10 – số 3

— 12 —

Đề bài

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1 :  Cho hai tập hợp \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left[ {2;4} \right]\). Giao của hai tập hợp đã cho là:

A.  \(\left( {2;3} \right]\).                      B.  \(\left( {2;3} \right)\).

C.  \(\left[ {2;3} \right)\).                      D.  \(\left[ {2;3} \right]\).

Câu 2 :  Cho hàm số \(y = \left( {m – 1} \right)x + m – 2\). Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là:

A.  \(m < 2\).                 B.  \(m > 1\).

C.  \(m < 1\).                 D.  \(m > 2\).

Câu 3 :  Cho parabol\(y = 2{x^2} + 4x – 3\). Tọa độ đỉnh của parabol là:

A.  \(\left( { – 1; – 5} \right)\).                B.  \(\left( {1;3} \right)\).

C.  \(\left( {2;5} \right)\).                      D.  \(\left( { – 2;5} \right)\).

Câu 4 :  Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = {x^2} – 4x + m\) cắt Ox tại hai điểm phân biệt là:

A.  \(m <  – 4\).              B.  \(m > 4\).

C.  \(m >  – 4\).              D.  \(m < 4\).

Câu 5 :  Cho hàm số \(y = \sqrt {2 – x}  + \dfrac{x}{{x – 1}}\). Tập xác định của hàm số là:

A.  \(\left( { – \infty ;2} \right]\).                       B.  \(\left[ {1;2} \right]\).

C.  \(\left( { – \infty ;2} \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).    D.  \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Câu 6 :  Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x – 3 \le 1 + 2x\\\dfrac{{x – 1}}{2} < 1\end{array} \right.\) là:

A.  \(\left[ { – 4;3} \right)\).                   B.  \(\left[ { – 4;3} \right]\).

C.  \(\left( { – 4;3} \right)\).                   D.  \(\left( { – 4;3} \right]\).

Câu 7 :  Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác \(MNP\) có \(M\left( { – 2;1} \right),\,N\left( {1;3} \right),\,P\left( {0;2} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(MNP\) là:

A.  \(\left( {2;1} \right)\).

B.  \(\left( {2; – \dfrac{1}{3}} \right)\).

C.  \(\left( {1;2} \right)\).

D.  \(\left( { – \dfrac{1}{3};2} \right)\).

Câu 8 :  Trên mặt phẳng tọa độ cho \(\overrightarrow a  = \left( {1; – 3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {2; – 1} \right)\). Giá trị của \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng:

A.   6.                              B.   0.

C.   5.                              D.   -1.

Câu 9 :  Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a,\,CA = b,\,AB = c\). Biểu thức \({a^2} + {b^2} – {c^2}\) bằng:

A.  \( – 2ab\cos C\).

B.  \( – 2bc\cos A\).

C.  \(2bc\cos A\).

D.  \(2ab\cos C\).

Câu 10 :  Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \dfrac{3}{5}\). Giá trị của \(\cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right)\) là:

A.  \(\dfrac{3}{5}\).                              B.  \( – \dfrac{3}{5}\).

C.  \(\dfrac{4}{5}\).                              D.  \( – \dfrac{4}{5}\).

Câu 11 :  Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) phân biệt và thẳng hàng, trong đó \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B\). Xét các khẳng định sau

i) \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng hướng.

ii) \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng.

iii) \(\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ cùng hướng.

iv) \(\overrightarrow {CB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng.

Số khẳng định đúng là:

A.   3.                              B.   2.

C.   1.                              D.   0.

Câu 12 :  Cho hình bình hành \(ABCD\). Xét các khẳng định sau

\(i)\,\overrightarrow {AB}  = \,\overrightarrow {CD} \).

\(ii)\,\overrightarrow {AC}  = \,\overrightarrow {BD} \).

\(iii)\,\overrightarrow {AD}  = \,\overrightarrow {CB} \).

\(iv)\,\overrightarrow {AC}  = \,\overrightarrow {AD}  – \,\overrightarrow {BA} \).

Số khẳng định đúng là:

A.   0.                              B.   1.

C.   2.                              D.   3.

PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1 .  (1,5 điểm)

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 2x – 3\)

a) Xác định trục đối xứng và tọa độ đỉnh của parabol \(\left( P \right)\). Vẽ parabol \(\left( P \right)\).

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x – 3\).

Bài 2 .  (2 điểm)

a) Giải phương trình \(\sqrt {2x + 9}  = x – 3\)

b) Trong các đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, các bạn học sinh lớp 10A đã quyên góp được \(1\,200\,000\). Mỗi em chỉ quyên góp bằng các tờ tiền \(2000,\,\,5000,\,\,10\,000\). Tổng số tiền loại \(2000\)và số tiền loại \(5000\) bằng số tiền loại \(10\,000\). Số tiền loại \(2000\) nhiều hơn số tiền loại \(5000\) là \(200\,000\). Hỏi có bao nhiêu số tiền mỗi loại?

Bài 3 .  (3 điểm)

a) Cho tam giác nhọn \(ABC\), \(AB = 2a,\,AC = 3a,\,\,\widehat {BAC} = {60^0}\). Về phía ngoài tam giác, dựng tam giác \(ACD\) vuông cân tại đỉnh \(A\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC,\,BD\) và các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} \) theo \(a\).

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có ba đỉnh \(A\left( {1;2} \right),\,B\left( { – 1; – 1} \right),\,C\left( {2; – 1} \right)\). Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

Bài 4 .  (0,5 điểm) Giải phương trình \(\sqrt {x – \sqrt {2x – 1} }  + \sqrt {x + 4 – 3\sqrt {2x – 1} }  = \sqrt 2 \).

Lời giải chi tiết

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1. C	Câu 2. B	Câu 3. A	Câu 4. D	Câu 5. C
Câu 6. A	Câu 7. D	Câu 8. C	Câu 9. D	Câu 10. B
Câu 11. B	Câu 12. B

PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1 .  (1,5 điểm)

a)

Parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} + 2x – 3\) nhận \(x =  – 1\) làm trục đối xứng và có đỉnh \(I\left( { – 1; – 4} \right)\)

Một số điểm trên (P):

\(x\)	-3	-2	-1	0	1
\(y\)	0	-3	-4	-3	0

Đồ thị hàm số (hình bên):

b)  Hàm số\(y = {x^2} + 2x – 3\) có \(1 > 0\), đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x – 3\)

Bài 2 .  (2 điểm)

a) 

\(\begin{array}{l}\sqrt {2x + 9}  = x – 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 3 \ge 0\\2x + 9 = {\left( {x – 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x + 9 = {x^2} – 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} – 8x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow x = 8\end{array}\)

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm \(x = 8\).

b)  Gọi số tiền loại \(2000,\,\,5000,\,\,10\,000\) lần lượt là \(x,\,\,y,\,\,z\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\,200\,000\\x + y = z\\x – y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x + y) + z = 1\,200\,000\\(x + y) – z = 0\\x – y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,000\\z = 600\,000\\x – y = 200\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{600\,000 + 200\,000}}{2}\\y = x – 200\,000\\z = 600\,000\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400\,000\\y = 200\,000\\z = 600\,000\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy, số tiền loại \(2000,\,\,5000,\,\,10\,000\) lần lượt là \(400\,000,\,\,200\,000,\,\,600\,000\).

Bài 3 .  (3 điểm)

a)  *) Tính \(BC,\,BD\):

 

Ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} – 2.2a.3a.\cos {60^0} \\= {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} – 2.2a.3a.\dfrac{1}{2}\\ = 4{a^2} + 9{a^2} – 6{a^2} = 7{a^2}\,\, \Rightarrow BC = a\sqrt 7 \end{array}\)

Do tam giác \(ACD\)dựng vêc phía ngoài tam giác\(ABC\)nên:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = {60^0} + {90^0} = {150^0}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} – 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD}\\ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} – 2.2a.3a.\cos {150^0}\\ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} – 2.2a.3a.\dfrac{{ – \sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 4{a^2} + 9{a^2} + 6\sqrt 3 {a^2}\\ = \left( {13 + 6\sqrt 3 } \right){a^2}\,\\\,\, \Rightarrow BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 } \end{array}\)

* ) Tính \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} \):

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2a.3a.\cos {60^0} = 3{a^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} } \right).\,\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  + \,\overrightarrow {AD} .\,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  + 0\end{array}\)(do \(AD \bot AC\))

\( = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC}  =  – \overrightarrow {AB} \,.\overrightarrow {AC}  =  – 3{a^2}\)

Vậy,  \(BC = a\sqrt 7 \), \(BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 } \), \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC}  = 3{a^2}\), \(\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC}  =  – 3{a^2}\).

b)  Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)   (*)

Giả sử \(H\left( {a;b} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {a – 1;b – 2} \right),\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 1;b + 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; – 3} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a – 1} \right).3 + \left( {b – 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { – 3} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – 1 = 0\\a + 1 – 3b – 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ – 3b – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy, \(H\left( {1; – \dfrac{1}{3}} \right)\).

Bài 4 .  (0,5 điểm)

ĐKXĐ: \(x \ge \dfrac{1}{2}\)

Phương trình

\(\begin{array}{l}\sqrt {x – \sqrt {2x – 1} }  + \sqrt {x + 4 – 3\sqrt {2x – 1} }  = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2x – 2\sqrt {2x – 1} }  + \sqrt {2x + 8 – 6\sqrt {2x – 1} }  = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1 – 2\sqrt {2x – 1}  + 1}  + \sqrt {2x – 1 – 6\sqrt {2x – 1}  + 9}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x – 1}  – 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x – 1}  – 3} \right)}^2}}  = 2\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt {2x – 1}  – 1} \right| + \left| {\sqrt {2x – 1}  – 3} \right| = 2\) (*)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2x – 1}  – 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  = 1\\ \Leftrightarrow 2x – 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {2x – 1}  – 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  = 3\\ \Leftrightarrow 2x – 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

TH1: Nếu \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 1 – \sqrt {2x – 1}  + 3 – \sqrt {2x – 1}  = 2\\ \Leftrightarrow 4 – 2\sqrt {2x – 1}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,(TM)\end{array}\)

TH2: Nếu \(1 < x < 5\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  – 1 + 3 – \sqrt {2x – 1}  = 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2 = 2\end{array}\) (luôn đúng)

TH3: Nếu \(x \ge 5\) thì

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  – 1 + \sqrt {2x – 1}  – 3 = 2\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2x – 1}  – 4 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x – 1}  = 3\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,(TM)\end{array}\)

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left[ {1;5} \right]\).