Đề thi HK1 Toán 10 năm học 2019 – 2020 – trường THPT Gò Vấp
Câu 1: (1,0 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số :
a) \(y = \dfrac{{\sqrt {3 – x} + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| – 2}}\)
b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| – \sqrt 2 }}{{2{x^2} – 3x + 1}}\)
Câu 2: (2,0 điểm) Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right),\) biết rằng đồ thị \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( { – 2; – 1} \right).\) Tính \(2a – b?\)
Câu 3: (1,0 điểm) Cho phương trình \({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} – 2m.\) Định \(m\) để phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Câu 4: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình \(m{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x – 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phương trình \(\left( {m – 1} \right){x^2} – 2mx + m – 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)
Câu 5: (1,0 điểm) Giải các phương trình :
a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{2}} \right| = x – 1\)
b) \(6 – \sqrt {3{x^2} – x + 6} = x\)
Câu 6: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x – 1} – 2\sqrt {1 – 2y} = – 1\\\sqrt {1 – 2y} + 2\sqrt {x – 1} = 4\end{array} \right.\)
Câu 7: (1,0 điểm) Cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c = \left( { – 7;2} \right).\) Tìm vectơ \(\overrightarrow p \) sao cho : \(4\overrightarrow p – 2\overrightarrow a = \overrightarrow b – 3\overrightarrow c \)
Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {3; – 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)\). Tìm tọa độ diểm \(E\) biết điểm \(E\) thuộc trục tung và ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng.
Câu 9 : (1,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5;AC = 6;BC = 7.\) Tính : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (VD): Tìm tập xác định của các hàm số :
a) \(y = \dfrac{{\sqrt {3 – x} + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| – 2}}\)
b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| – \sqrt 2 }}{{2{x^2} – 3x + 1}}\)
Phương pháp:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).
Biểu thức \(\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định nếu \(f\left( x \right) \ne 0\).
Cách giải:
a) \(y = \dfrac{{\sqrt {3 – x} + \sqrt {3 + x} }}{{\left| x \right| – 2}}\)
ĐK:\(\left\{ \begin{array}{l}3 – x \ge 0\\3 + x \ge 0\\\left| x \right| – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge – 3\\x \ne \pm 2\end{array} \right.\)
TXĐ: \(D = \left[ { – 3;3} \right]\backslash \left\{ { – 2;2} \right\}\)
b) \(y = \dfrac{{\left| {2x + 1} \right| – \sqrt 2 }}{{2{x^2} – 3x + 1}}\)
ĐK: \(2{x^2} – 3x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2};1} \right\}\)
Câu 2 (VD): Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + 3\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( P \right),\) biết rằng đồ thị \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( { – 2; – 1} \right).\) Tính \(2a – b?\)
Phương pháp:
Đỉnh parabol \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; – \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\), lập hệ phương trình ẩn \(a,b\).
Cách giải:
Ta có: \( – 2 = \dfrac{{ – b}}{{2a}} \Leftrightarrow – 4a + b = 0\) (1)
Điểm \(S\left( { – 2; – 1} \right) \in P\) \( \Rightarrow 4a – 2b + 3 \Rightarrow 2a – b = – 2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} – 4a + b = 0\\2a – b = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(2a – b = 2 – 4 = – 2\).
Câu 3 (VD ): Cho phương trình \({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} – 2m.\) Định \(m\) để phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
Phương pháp:
Phương trình \(ax + b = 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) \( \Leftrightarrow a = b = 0\).
Cách giải:
\({m^2}x + 1 = x + 3{m^2} – 2m\) \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 1} \right)x = 3{m^2} – 2m – 1\)
Phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 1 = 0\\3{m^2} – 2m – 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ – 1}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(m = 1\).
Câu 4 (VD ):
a) Cho phương trình \(m{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x – 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phương trình \(\left( {m – 1} \right){x^2} – 2mx + m – 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)
Phương pháp:
a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.\).
b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm.
Sử dụng Vi – et thay vào đẳng thức bài cho, giải phương trình ẩn \(m\) và kết luận.
Cách giải:
a) Cho phương trình \(m{x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x – 4 + m = 0.\) Định \(m\) để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\6m + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = – \dfrac{1}{6}\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
b) Cho phương trình \(\left( {m – 1} \right){x^2} – 2mx + m – 4 = 0.\) Định \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 = 20.\)
Để phương trình có \(2\) nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}m – 1 \ne 0\\\Delta = 20m – 16 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ge \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\)
Theo định lý Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m – 1}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{m – 4}}{{m – 1}}\end{array} \right.\)
Ta có : \(x_1^2 + x_2^2 = 20\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 20\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} + 10m – 8}}{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}} = 20\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( N \right)\\m = \dfrac{7}{9}\left( L \right)\end{array} \right.\)
Câu 5 (VD ): Giải các phương trình :
a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{2}} \right| = x – 1\)
b) \(6 – \sqrt {3{x^2} – x + 6} = x\)
Phương pháp:
a) \(\left| {f\left( x \right)} \right| = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = \pm g\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
Cách giải:
a) \(\left| {\dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{2}} \right| = x – 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{2} = x – 1\\\dfrac{{{x^2} – 3x + 2}}{2} = – x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} – 5x + 4 = 0\\{x^2} – x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).
b) \(6 – \sqrt {3{x^2} – x + 6} = x\) \( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} – x + 6} = 6 – x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – x \ge 0\\3{x^2} – x + 6 = {\left( {6 – x} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\3{x^2} – x + 6 = {x^2} – 12x + 36\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\2{x^2} + 11x – 30 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x = – \dfrac{{15}}{2}\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {2; – \dfrac{{15}}{2}} \right\}\).
Câu 6 (VD): Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3\sqrt {x – 1} – 2\sqrt {1 – 2y} = – 1\\\sqrt {1 – 2y} + 2\sqrt {x – 1} = 4\end{array} \right.\)
Phương pháp:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x – 1} \\v = \sqrt {1 – 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ne 0} \right)\)
Cách giải:
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x – 1} \\v = \sqrt {1 – 2y} \end{array} \right.\left( {u,v \ne 0} \right)\)
Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u – 2v = – 1\\2u + v = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x – 1} = 1\\\sqrt {1 – 2y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{ – 3}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; – \dfrac{3}{2}} \right)\).
Câu 7 (TH): Cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c = \left( { – 7;2} \right).\) Tìm vectơ \(\overrightarrow p \) sao cho : \(4\overrightarrow p – 2\overrightarrow a = \overrightarrow b – 3\overrightarrow c \)
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {k{x_1} \pm l{x_2};k{y_1} \pm l{y_2}} \right)\).
Cách giải:
\(4\overrightarrow p – 2\overrightarrow a = \overrightarrow b – 3\overrightarrow c \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow p = \dfrac{1}{4}\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b – 3\overrightarrow c } \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {2.2 + 3 – 3.\left( { – 7} \right);2.1 + 4 – 3.2} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {28;0} \right) = \left( {7;0} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow p = \left( {7;0} \right)\).
Câu 8 (VD ): Trong mặt phẳng hệ tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {3; – 1} \right),\,B\left( {1;1} \right)\). Tìm tọa độ diểm \(E\) biết điểm \(E\) thuộc trục tung và ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng.
Phương pháp:
Gọi \(E\left( {0;y} \right) \in Oy\).
\(A,B,E\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {AE} .\)
Cách giải:
Ta có: \(E \in Oy \Rightarrow E\left( {0;y} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;2} \right)\) ; \(\overrightarrow {AE} = \left( { – 3;y + 1} \right)\)
Ba điểm \(A,B,E\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {AE} .\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ – 3}}{{ – 2}} = \dfrac{{y + 1}}{2}\) \( \Leftrightarrow – 2\left( {y + 1} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow y = 2\)
Vậy \(E\left( {0;2} \right).\)
Câu 9 (VD ): Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5;AC = 6;BC = 7.\) Tính : \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
Phương pháp:
Nhận xét \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \) và bình phương hai vế.
Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow A{B^2} – 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2} = C{B^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} – C{B^2}}}{2}\) \( = \dfrac{{{5^2} + {6^2} – {7^2}}}{2} = 6\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 6\).
Trả lời