A. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)
Câu 1 : Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x + 10} \right| + \left| {x – 10} \right|;\)\(\,\,g\left( x \right) = – {\left| x \right|^2}\)
A. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
B. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn.
C. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
D. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ.
Câu 2 : Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(\exists x \in Q;\,\,4{x^2} – 1 = 0\)
B. \(\exists x \in N;\,\,{n^2} + 1\) chia hết cho 4.
C. \(\forall x \in N;\,\,{n^2} > n\).
D. \(\forall x \in R;\,\,{\left( {x – 1} \right)^2} \ne x – 1\)
Câu 3 : Cho tam giác ABC với \(A\left( {4;3} \right);\,\,B\left( { – 5;6} \right);\,\,C\left( { – 4; – 1} \right)\). Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là:
A. \(\left( { – 3;2} \right)\) B. \(\left( { – 3; – 2} \right)\)
C. \(\left( {3; – 2} \right)\) D. \(\left( {3;2} \right)\)
Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A; \(AB = a;\,\,BC = 2a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \) bằng
A. \({a^2}\) B. \( – 3{a^2}\)
C. \( – {a^2}\) D. \(3{a^2}\)
Câu 5 : Hàm số nào sau đây có tập xác định R?
A. \(y = \dfrac{{2{x^2} – 5x}}{{{x^2} + x + 1}}\)
B. \(y = \dfrac{{2{x^2} – 5x}}{{x + 1}}\)
C. \(y = \dfrac{{2{x^2} – 5x}}{{{x^3} + 1}}\)
D. \(y = \dfrac{{2{x^2} – 5x}}{{{x^2} – 1}}\)
Câu 6 : Phát biểu nào sau đây là mệnh đề đúng.
A. Số 141 chia hết cho 3 \(\overrightarrow {AB} \) 141 chia hết cho 9.
B. 81 là số chính phương \(\overrightarrow {AD} \) \(\overrightarrow {AO} \) là số nguyên.
C. 7 là số lẻ \(\overrightarrow {AC} \) 7 chia hết cho 2
D. 3.5 = 15 \(\overrightarrow {DB} \) Bắc Kinh là thủ đô của Hàn Quốc.
Câu 7 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, các vectơ đơn vị là \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \). Tập hợp các điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \left( {2\cos t + 3} \right)\overrightarrow i + \left( {2 – \cos t} \right)\overrightarrow j \) là:
A. Đoạn thẳng IJ của đường thẳng \(y = – \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\) với \(I\left( {1;3} \right);\,\,J\left( {5;1} \right)\).
B. Đường thẳng \(y = – \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\).
C. Phần đường thẳng \(y = – \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\) trừ điểm \(J\left( {5;1} \right)\).
D. Phần đường thẳng \(y = – \dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\) trừ điểm \(I\left( {1;3} \right)\).
Câu 8 : Cho hai số thực a và b thỏa mãn \(a < b\), cách viết nào sau đây là đúng.
A. \(\left\{ a \right\} \in \left[ {a;b} \right]\).
B. \(a \in \left( {a;b} \right]\).
C. \(a \subset \left[ {a;b} \right]\).
D. \(\left\{ a \right\} \subset \left[ {a;b} \right]\)
Câu 9 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x – 1}}\) với \(x > 1\). Giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
A. 4. B. 2.
C. 3. D. \(\overrightarrow {MA} \).
Câu 10 : Cho \(a + b = 1\). Giá trị lớn nhất của \(B = a{b^2}\) bằng
A. \(\dfrac{4}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{2}{3};\,\,b = \dfrac{1}{3}\).
B. \(\dfrac{2}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{1}{3};\,\,b = \dfrac{2}{3}\)
C. \(\dfrac{4}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{1}{3};\,\,b = \dfrac{2}{3}\)
D. \(\dfrac{4}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{1}{2};\,\,b = \dfrac{1}{2}\)
Câu 11 : Cho \(A = \left\{ {2;5} \right\};\,\,B = \left\{ {2;3;5} \right\}\). Tập hợp \(A \cup B\) bằng tập hợp nào sau đây?
A. \(\left\{ {2;3;5} \right\}\) B. \(\left\{ {2;5} \right\}\)
C. \(\left\{ {2;3} \right\}\) D. \(\left\{ 5 \right\}\)
Câu 12 : Giá trị nào của m thì phương trình \(m{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu?
A. \(m < – \dfrac{3}{2}\)
B. \(m > – \dfrac{3}{2}\) và \(m \ne 0\).
C. \( – \dfrac{3}{2} < m < 0\).
D. \(m \ne 0\)
Câu 13 : Cho phương trình \(\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x – 9} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\). Phương trình nào sau đây tương đương với phương phương trình đã cho?
A. \(x + 9 = 0\)
B. \(x – 9 = 0\)
C. \(\left( {x – 9} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\)
D. \({x^2} + 9 = 0\)
Câu 14 : Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào sai?
A. \(a > 0;\,\,b > 0\), ta có \(a + b \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \) .
B. \(a > b > 0;\,\,\dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{a}\).
C. \({a^2} + {b^2} + ab < 0\,\,\forall a;b \in R\)
D. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\,\,\forall a;b;c \in R\).
Câu 15 : Cho hình vuông ABCD có tâm O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai
A. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DO} = – \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} \)
B. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = 4\overrightarrow {AB} \)
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \)
D. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CB} \)
Câu 16 : Cho các tập hợp sau: \(M = \left\{ {1;2;3} \right\};\,\,N = \left\{ {x \in N|x < 4} \right\};\)\(\,\,P = \left( {0; + \infty } \right);\)\(\,\,Q = \left\{ {x \in R|2{x^2} – 7x + 3 = 0} \right\}\) . Chọn kết quả đúng nhất
A. \(M \subset N;\,\,M \subset P;\,Q \subset P\)
B. \(N \subset P;\,\,Q \subset P\)
C. \(M \subset N\)
D. \(M \subset N;\,\,M \subset P\).
Câu 17 : Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\).
A. \(y = x\)
B. \(y = \left| x \right|\)
C. \(y = {x^2}\)
D. \(y = \dfrac{1}{x}\).
Câu 18 : Số nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \) là
A. 3. B. 1.
C. 4. D. 2.
Câu 19 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, \(\widehat B = {30^0};\,\,BC = 6\), M là điểm thuộc BC sao cho \(MC = 2MB\). Tính \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} \).
A. 4. B. 20.
C. 2\(\overrightarrow {NP} \). D. 4\(\overrightarrow {QR} \).
Câu 20 : Cho tam giác ABC. Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} – 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CD} \) với M tùy ý thì D là đỉnh của hình bình hành:
A. ABED với E là trung điểm của BC.
B. ABCD.
C. ACED với B là trung điểm của EC.
D. ACBD.
Câu 21 : Cho \(y = \dfrac{{\sqrt {3x – 2a} }}{{x – a + 2}}\). Giá trị nào của a để y xác định với mọi \(x > – 1\).
A. \(a \le 1\)
B. \(a \le – \dfrac{3}{2}\).
C. \(a < 1\)
D. \(a < – \dfrac{3}{2}\)
Câu 22 : Cho tam giác ABC có \(A\left( {1; – 1} \right);\,\,B\left( {5; – 3} \right)\) và \(C \in Oy\), trọng tâm \(G \in Ox\). Tọa độ điểm C là:
A. \(\left( {0;2} \right)\) B. \(\left( {2;0} \right)\)
C. \(\left( {0; – 4} \right)\) D. \(\left( {0;4} \right)\)
Câu 23 : Giá trị nào của m thì phương trình \(m{x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x + m – 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu?
A. \(m \ge 3\).
B. \(m < 3\)
C. \(0 < m < 3\)
D. \(m < 0\)
Câu 24 : Cho các vec-tơ \(\overrightarrow {OA} = \left( {1;2} \right);\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {2;1} \right)\), biết \(\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \). Khi đó độ dài vec-tơ \(\overrightarrow {OM} \) là:
A. 4. B. 1.
C. 3. D. 2.
Câu 25 : Phương trình \(\left( {mx + 2} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {mx + {m^2}} \right)x\) có nghiệm duy nhất khi m là :
A. \(m \ne – 1\) và \(m \ne 0\).
B. \(m \ne – 1\) và \(m \ne 2\)
C. \(m \ne 1\) và \(m \ne – 2\)
D. \(m \ne 2\) và \(m \ne 0\)
Câu 26 : Trong hệ trục \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), tọa độ của vec-tơ \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow i \) là :
A. \(\overrightarrow u = \left( { – 2; – 3} \right)\).
B. \(\overrightarrow u = \left( {3;2} \right)\)
C. \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\)
D. \(\overrightarrow u = \left( { – 3;2} \right)\)
Câu 27 : Phương trình \(\left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {3m – 2} \right)x + m + 2 = 0\) có nghiệm kép \(x = 1\) khi giá trị m là :
A. 2. B. 1.
C. 0. D. -1.
Câu 28 : Parabol \(y = – 4x – 2{x^2}\) có đỉnh là :
A. \(I\left( { – 1;2} \right)\)
B. \(I\left( {1;6} \right)\)
C. \(I\left( { – \dfrac{1}{4};\dfrac{7}{8}} \right)\).
D. \(I\left( {\dfrac{1}{4}; – \dfrac{9}{8}} \right)\).
Câu 29 : Tổng \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \) bằng
A. \(\overrightarrow {MP} \). B. \(\overrightarrow {MR} \).
C. \(\overrightarrow {MN} \). D. \(\overrightarrow {PR} \).
Câu 30 : Parabol \(y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua điểm \(M\left( {1; – 1} \right)\) và có trục đối xứng \(x = 2\)là:
A. \(y = {x^2} – 4x + 2\)
B. \(y = 2{x^2} + x + 2\)
C. \(y = – {x^2} + 2x + 2\)
D. \(y = {x^2} – 3x + 2\)
B. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1: (2 điểm).
Cho phương trình \({x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + m – 3 = 0\), với m là tham số thực.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Câu 2: (1,5 điểm).
Cho hình thang vuông ABCD, đường cao \(AB = 2a\), đáy lớn \(BC = 3a\), đáy nhỏ \(AD = a\).
1) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} ;\,\,\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} \).
2) Gọi I là trung điểm CD. Tính góc của AI và BD.
Câu 3: (0,5 điểm).
Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} + b + \dfrac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \dfrac{3}{4}} \right)\)\(\, \ge \left( {2a + \dfrac{1}{2}} \right)\).
Lời giải chi tiết
A. TRẮC NGHIỆM (6 điểm)
| 1. B | 2. A | 3. A | 4. B | 5. A |
| 6. B | 7. A | 8. D | 9. C | 10. C |
| 11. A | 12. B | 13. C | 14. C | 15. B |
| 16. A | 17. A | 18. D | 19. A | 20. C |
| 21. B | 22. A | 23. C | 24. C | 25. B |
| 26. C | 27. C | 28. C | 29. C | 30. A |
B. TỰ LUẬN (4 điểm)
Câu 1:
a) Ta có: \(\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – \left( {m – 3} \right) \)\(\,= {m^2} – 3m + 4 \)\(\,= {\left( {m – \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\,\,\forall m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo Vi – et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m – 2\\{x_1}.{x_2} = m – 3\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 10\cr& \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {\rm{ }}{x_2}} \right)^2} – 2{x_1}.{x_2} = 10 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2m – 2} \right)^2} – 2.\left( {m – 3} \right) = 10 \cr
& \Leftrightarrow 4{m^2} – 10m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = \dfrac{5}{2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kết luận: \(m \in \left\{ {0;\dfrac{5}{2}} \right\}\).
Câu 2:
1) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = 0 – A{B^2} + 0 = – {\left( {2a} \right)^2} = – 4{a^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {BC} \\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} \\ = 0 + AD.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right)\\ = a.3a.\cos 0^\circ = 3{a^2}\end{array}\)
2) Gọi J là trung điểm của AB \( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của hình thang ABCD
\( \Rightarrow IJ = \dfrac{{AD + BC}}{2} = \dfrac{{a + 3a}}{2} = 2a\) và \(IJ \bot AB\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {JI} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD} \\ + \overrightarrow {JI} .\overrightarrow {AD} \\ = – \dfrac{1}{2}.{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 0 + 0\\ + JI.AD.\cos 0^\circ \\ = – \dfrac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2} + 2a.a.1 = 0\\ \Rightarrow AI \bot BD \Rightarrow \left( {\widehat {AI;BD}} \right) = 90^\circ \end{array}\)
Câu 3:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + b + \dfrac{3}{4} = {a^2} + \dfrac{1}{4} + b + \dfrac{1}{2}\\\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{a^2}.\dfrac{1}{4}} + b + \dfrac{1}{2} = a + b + \dfrac{1}{2}\\{b^2} + a + \dfrac{3}{4} = {b^2} + \dfrac{1}{4} + a + \dfrac{1}{2}\\\mathop \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{b^2}.\dfrac{1}{4}} + a + \dfrac{1}{2} = a + b + \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + b + \dfrac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \dfrac{3}{4}} \right)\\ \ge {\left( {a + b + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\end{array}\)
Mà \({\left( {a + b + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {a + \dfrac{1}{4} + b + \dfrac{1}{4}} \right)^2}\\ \ge 4\left( {a + \dfrac{1}{4}} \right)\left( {b + \dfrac{1}{4}} \right) \)\(\,= \left( {2a + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {2b + \dfrac{1}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\left( {{a^2} + b + \dfrac{3}{4}} \right)\)\(\left( {{b^2} + a + \dfrac{3}{4}} \right)\)\( \ge \left( {2a + \dfrac{1}{2}} \right)\)\(\left( {2b + \dfrac{1}{2}} \right)\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).
Để lại phản hồi