Đề bài: Giả sử tích phân \(I = \int\limits_1^5 {\frac{1}{{1 + \sqrt {3x + 1} }}{\rm{d}}x}  = a + b.ln3 + c.ln5\). Tính tổng a+b+c.

Đặt \(1 + \sqrt {3x + 1}  = t \Rightarrow 3x + 1 = {\left( {t – 1} \right)^2} \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{2}{3}\left( {t – 1} \right){\rm{d}}t\).

Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 3;x = 5 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó \(I = \int\limits_3^5 {\frac{2}{3}\frac{{t – 1}}{t}{\rm{d}}t}  = \frac{2}{3}\int\limits_3^5 {\left( {1 – \frac{1}{t}} \right){\rm{d}}t}  = \left. {\frac{2}{3}\left( {t – \ln \left| t \right|} \right)} \right|_3^5 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}ln3 – \frac{2}{3}ln5\).

Do đó \(a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3};c =  – \frac{2}{3}\).

Vậy \(a + b + c = \frac{4}{3}.\)