Đề: Cho bốn điểm \(A\left( {1,3, – 3} \right);B\left( {2; – 6;7} \right),C\left( { – 7; – 4;3} \right)\) và \(D\left( {0; – 1;4} \right)\). Gọi \(P = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\), tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow G\left( { – 1; – 2;\frac{{11}}{4}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = 4\overrightarrow {MG} \end{array}\)

(quy tắc chèn điểm vector)

P đạt giá trị nhỏ nhất nên \(\left| {4\overrightarrow {MG} } \right|\) nhỏ nhất hay MG ngắn nhất, điều này xảy ra khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng Oxy

Ta có \(G\left( { – 1; – 2;\frac{{11}}{4}} \right) \Rightarrow M\left( { – 1; – 2;0} \right)\).