Đề: Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}\). Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và cách đều hai trục tọa độ. Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N. Tìm độ dài đoạn thẳng MN.

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) điểm thuộc (C) và cách đều hai trục tọa độ. Khi đó: \(\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = {y_0}}\\{{x_0} =  – {y_0}}\end{array}} \right.\)

+ Nếu \({x_0} = {y_0}\) thì ta có \({x_0} = \frac{{{x_0} – 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow {x_0}\left( {{x_0} + 1} \right) = {x_0} – 3 \Leftrightarrow x_0^2 =  – 3\) (vô nghiệm)

+ Nếu \({x_0} =  – {y_0}\) thì ta có: \( – {x_0} = \frac{{{x_0} – 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow  – x_0^2 – 2{x_0} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  – 1 \Rightarrow M\left( {1; – 1} \right)}\\{{x_0} =  – 3 \Rightarrow {y_0} = 3 \Rightarrow N\left( { – 3;3} \right)}\end{array}} \right.\)

\(MN = \sqrt {{{\left( { – 3 – 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 .\)