Ôn tập Chương II – Phân thức đại số – Sách bài tập Toán 8 tập 1
Bài 58 trang 39 SBT Toán 8 tập 1
Thực hiện các phép tính :
a. \(\left( {{9 \over {{x^3} – 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right):\left( {{{x – 3} \over {{x^2} + 3x}} – {x \over {3x + 9}}} \right)\)
b. \(\left( {{2 \over {x – 2}} – {2 \over {x + 2}}} \right).{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\)
c. \(\left( {{{3x} \over {1 – 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right):{{6{x^2} + 10x} \over {1 – 6x + 9{x^2}}}\)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 25}} – {{x – 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right):{{2x – 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 – x}}\)
e. \(\left( {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {{1 \over {x – y}} – {{2xy} \over {{x^3} – {x^2}y + x{y^2} – {y^3}}}} \right)\)
Giải: a. \(\left( {{9 \over {{x^3} – 9x}} + {1 \over {x + 3}}} \right):\left( {{{x – 3} \over {{x^2} + 3x}} – {x \over {3x + 9}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{9 \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} + {1 \over {x + 3}}} \right]:\left[ {{{x – 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} – {x \over {3\left( {x + 3} \right)}}} \right] \cr & = {{9 + x\left( {x – 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}:{{3\left( {x – 3} \right) – {x^2}} \over {3x\left( {x + 3} \right)}} = {{{x^2} – 3x + 9} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}.{{3x\left( {x + 3} \right)} \over {3x – 9 – {x^2}}} \cr & = {{3\left( {{x^2} – 3x + 9} \right)} \over {\left( {3 – x} \right)\left( {{x^2} – 3x + 9} \right)}} = {3 \over {3 – x}} \cr} \)
b. \(\left( {{2 \over {x – 2}} – {2 \over {x + 2}}} \right).{{{x^2} + 4x + 4} \over 8}\)\( = {{2\left( {x + 2} \right) – 2\left( {x – 2} \right)} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8}\)
\( = {{2x + 4 – 2x + 4} \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8} = {8 \over {\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over 8} = {{x + 2} \over {x – 2}}\)
c. \(\left( {{{3x} \over {1 – 3x}} + {{2x} \over {3x + 1}}} \right):{{6{x^2} + 10x} \over {1 – 6x + 9{x^2}}}\)\( = {{3x\left( {3x + 1} \right) + 2x\left( {1 – 3x} \right)} \over {\left( {1 – 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}:{{2x\left( {3x + 5} \right)} \over {{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}\)
\(\eqalign{ & = {{9{x^2} + 3x + 2x – 6{x^2}} \over {\left( {1 – 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}} \over {2x\left( {3x + 5} \right)}} = {{x\left( {3x + 5} \right)} \over {\left( {1 – 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}.{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}} \over {2x\left( {3x + 5} \right)}} \cr & = {{1 – 3x} \over {2\left( {1 + 3x} \right)}} \cr} \)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 25}} – {{x – 5} \over {{x^2} + 5x}}} \right):{{2x – 5} \over {{x^2} + 5x}} + {x \over {5 – x}}\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}} – {{x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}}} \right]:{{2x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}} + {x \over {5 – x}} \cr & = {{{x^2} – {{\left( {x – 5} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}.{{x\left( {x + 5} \right)} \over {2x – 5}} + {x \over {5 – x}} \cr & = {{{x^2} – {x^2} + 10x – 25} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {2x – 5} \right)}} + {x \over {5 – x}} = {{5\left( {2x – 5} \right)} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {2x – 5} \right)}} – {x \over {x – 5}} \cr & = {5 \over {x – 5}} – {x \over {x – 5}} = {{5 – x} \over {x – 5}} = {{ – \left( {x – 5} \right)} \over {x – 5}} = – 1 \cr} \)
e. \(\left( {{{{x^2} + xy} \over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right):\left( {{1 \over {x – y}} – {{2xy} \over {{x^3} – {x^2}y + x{y^2} – {y^3}}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} + xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}} + {y \over {{x^2} + {y^2}}}} \right]:\left[ {{1 \over {x – y}} – {{2xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x – y} \right)}}} \right] \cr & = {{{x^2} + xy + y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}:{{{x^2} + {y^2} – 2xy} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x – y} \right)}} \cr & = {{{x^2} + xy + xy + {y^2}} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}.{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x – y} \right)} \over {{{\left( {x – y} \right)}^2}}} \cr & = {{{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}.{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x – y} \right)} \over {{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = {{x + y} \over {x – y}} \cr} \)
Bài 59 trang 40 SBT Toán 8
Chứng minh đẳng thức :
a. \(\left( {{{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} \over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} \right)\left( {1 – {1 \over x} – {2 \over {{x^2}}}} \right) = {{x + 1} \over {2x}}\)
b. \(\left[ {{2 \over {3x}} – {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} – x – 1} \right)} \right]:{{x – 1} \over x} = {{2x} \over {x – 1}}\)
c. \(\left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x – 1} \over {{x^3}}} = {x \over {x – 1}}\)
HD giải: a. Biến đổi vế trái :
\(\left( {{{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} \over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} \right)\left( {1 – {1 \over x} – {2 \over {{x^2}}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{{{x^2} – 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} – {{2{x^2}} \over {4\left( {2 – x} \right) + {x^2}\left( {2 – x} \right)}}} \right]{{{x^2} – x – 2} \over {{x^2}}} \cr & = \left[ {{{{x^2} – 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} – {{2{x^2}} \over {\left( {2 – x} \right)\left( {4 + {x^2}} \right)}}} \right]{{{x^2} – x – 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{\left( {{x^2} – 2x} \right)\left( {2 – x} \right) – 4{x^2}} \over {2\left( {2 – x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} – x – 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{2{x^2} – {x^3} – 4x + 2{x^2} – 4{x^2}} \over {2\left( {2 – x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} – 2x + x – 2} \over {{x^2}}} \cr & = {{ – x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {2 – x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{x\left( {x – 2} \right) + \left( {x – 2} \right)} \over {{x^2}}} \cr & = {{x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2}}} = {{x + 1} \over {2x}} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
b. Biến đổi vế trái:
\(\eqalign{ & \left[ {{2 \over {3x}} – {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} – x – 1} \right)} \right]:{{x – 1} \over x} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} – {2 \over {x + 1}}.{{x + 1 – 3x\left( {x + 1} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x – 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} – {2 \over {x + 1}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 – 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x – 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {3x}} – {{2\left( {1 – 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x – 1}} = {{2 – 2 + 6x} \over {3x}}.{x \over {x – 1}} = 2.{x \over {x – 1}} = {{2x} \over {x – 1}} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
c. Biến đổi vế trái :
\(\eqalign{ & \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x – 1} \over {{x^3}}} \cr & = \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.{{x + 1} \over x} + {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x – 1}} \cr & = \left[ {{2 \over {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {{{x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x – 1}} = {{2x + {x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x – 1}} \cr & = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x – 1}} = {x \over {x – 1}} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 60 trang 40
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức :
a. \({{{x \over {x – 1}} – {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} – {{x – 1} \over x}}}\)
b. \({{{5 \over 4} – {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 – {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\)
Lời giải: a. \({{{x \over {x – 1}} – {{x + 1} \over x}} \over {{x \over {x + 1}} – {{x – 1} \over x}}}\)\( = \left( {{x \over {x – 1}} – {{x + 1} \over x}} \right):\left( {{x \over {x + 1}} – {{x – 1} \over x}} \right)\)
\( = {{{x^2} – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {x\left( {x – 1} \right)}}:{{{x^2} – \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {x\left( {x + 1} \right)}} = {1 \over {x\left( {x – 1} \right)}}.{{x\left( {x + 1} \right)} \over 1} = {{x + 1} \over {x – 1}}\)
b. \({{{5 \over 4} – {5 \over {x + 1}}} \over {{{9 – {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}}}\)\( = \left( {{5 \over 4} – {5 \over {x + 1}}} \right):\left( {{{9 – {x^2}} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \right) = {{5\left( {x + 1} \right) – 20} \over {4\left( {x + 1} \right)}}:{{\left( {3 + x} \right)\left( {3 – x} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = {{5\left( {x – 3} \right)} \over {4\left( {x + 1} \right)}}.{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {\left( {3 + x} \right)\left( {3 – x} \right)}} = {{ – 5\left( {3 – x} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {4\left( {3 + x} \right)\left( {3 – x} \right)}} = {{ – 5\left( {x + 1} \right)} \over {4\left( {3 + x} \right)}}\)
Bài 61
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \({{{x^2} – 25} \over {x + 1}} = 0\) khi \({x^2} – 25 = 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) và\(x \ne – 1\). Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x = \pm 5\)
Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :
a. \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\)
b. \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)
Hướng dẫn: a. \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\)= 0 khi \(98{x^2} – 2 = 0\) và x – 2 ≠ 0
Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
\(\eqalign{ & 98{x^2} – 2 = 0 \Rightarrow 2\left( {49{x^2} – 1} \right) = 0 \Rightarrow \left( {7x – 1} \right)\left( {7x + 1} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {7x + 1 = 0} \cr {7x – 1 = 0} \cr} \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = – {1 \over 7}} \cr {x = {1 \over 7}} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
\(x = {1 \over 7}\)và \(x = – {1 \over 7}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ 2
Vậy \(x = {1 \over 7}\) hoặc \(x = – {1 \over 7}\) thì phân thức \({{98{x^2} – 2} \over {x – 2}}\) có giá trị bằng 0.
b. \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\)\( = {{3x – 2} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\) khi 3x – 2 = 0 và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\)
Ta có : \({\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1\)
\(3x – 2 = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)
\(x = {2 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện x ≠ – 1
Vậy \(x = {2 \over 3}\) thì phân thức \({{3x – 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0.
Bài 62 trang 40
Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :
a. \({{2x – 3} \over {{{x – 1} \over {x + 2}}}}\)
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\)
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\)
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\)
Trả lời: a. \({{2x – 3} \over {{{x – 1} \over {x + 2}}}}\) biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0
⇒ x ≠ 1 và x ≠ -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ – 2
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\) biểu thức xác định khi và x – 1 ≠ 0
⇒ x ≠ 0 và x ≠ 1.
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 0 và x ≠ 1
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} – 10x + 25 \ne 0\) và x ≠ 0
\({x^2} – 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x – 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\)
Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) biểu thức xác định khi \({x^2} + 10x + 25 \ne 0\) và x – 5 ≠ 0.
\(\eqalign{ & {x^2} + 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne – 5 \cr & x – 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5 \cr} \)
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 5 và x ≠ -5
Bài 63 trang 40 SBT Toán 8 tập 1
Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0
Hướng dẫn giải: a. \({{{{2x – 3} \over {x – 1}}} \over {x + 2}}\) điều kiện x ≠ 1 và x ≠ -2
\( \Rightarrow {{\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {x – 1}} = 0\) biểu thức bằng 0 khi \(\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\) và \(x – 1 \ne 0\)
\(\left( {2x – 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Rightarrow 2x – 3 = 0\)hoặc \(x + 2 = 0\)
\(2x – 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 \Rightarrow x = – 2\)
\(x = – 2\) không thỏa mãn điều kiện, \(x = 1,5\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy \(x = 1,5\) thì biểu thức \({{{{2x – 3} \over {x – 1}}} \over {x + 2}}\) có giá trị bằng 0.
b. \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}} = 0\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 1
\( \Rightarrow {{2{x^2} + 1} \over {x\left( {x – 1} \right)}} = 0\) biểu thức có giá trị bằng 0 khi \(2{x^2} + 1 = 0\) và \(x\left( {x – 1} \right) \ne 0\)
Ta có: \(2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x – 1}}\) có giá trị bằng 0
c. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 5
\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)x} \over {{{\left( {x – 5} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {{x\left( {x + 5} \right)} \over {x – 5}} = 0\)
Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x (x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0
\(x\left( {x + 5} \right) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = – 5\)
x = 0 không thỏa mãn điều kiện,
x = – 5 thỏa mãn điều kiện
Vậy x = -5 thì biểu thức \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} – 10x + 25} \over x}}}\) có giá trị bằng 0
d. \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) điều kiện x ≠ 5 và x ≠ -5
\( \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)\left( {x – 5} \right)} \over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 \Rightarrow {{\left( {x + 5} \right){{\left( {x – 5} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 0\)
\( \Rightarrow {{{{\left( {x – 5} \right)}^2}} \over {x + 5}} = 0\). Biểu thức bằng 0 khi \({\left( {x – 5} \right)^2} = 0\) và \(x + 5 \ne 0\)
\({\left( {x – 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
\(x = 5\) không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \({{{x^2} – 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x – 5}}}}\) có giá trị bằng 0.
Bài 64 trang 41 – Ôn tập chương 2
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :
a. \({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)
b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)
c. \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
Bài giải: a. \({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)
Ta có: \(x – {1 \over x}\) xác định khi x ≠ 0
\({{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}\) xác định khi x ≠ 0
\(\eqalign{ & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} – 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} – 1 \ne 0 \cr & \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1;x \ne 1 \cr} \)
Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.
\({{x – {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} – {{2x + 2} \over x}}}\)\( = {{{{{x^2} – 1} \over x}} \over {{{{x^2} – 1} \over x}}} = {{{x^2} – 1} \over x}.{x \over {{x^2} – 1}} = 1\)
b. \({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)
Ta có: \({x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}\) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ \(x \ne \pm 1\)
\({{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}\) xác định khi x – 1 ≠ 0 và \({x^2} – 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\)
\({{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) – 4x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0\)
\( \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 – 4x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} \ne 0\) mọi x
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1
\({{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x – 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x – 1}} – {{4x} \over {{x^2} – 1}}}}\)\( = {{{{x\left( {x – 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {1 \over 2}\)
c. \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, \({x^2} – 2x + 1 \ne 0\)và \({x^2} – 1 \ne 0\)
\(\eqalign{ & x – 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} – 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} – 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne – 1;x \ne 1 \cr} \)
Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1
Ta có: \({1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – x} \over {{x^2} + 1}}.\left( {{x \over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 \over {{x^2} – 1}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}} \right] \cr & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left( {x + 1} \right) – \left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \cr & = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} + x – x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {x – 1}} – {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {1 \over {x – 1}} – {x \over {x – 1}} \cr & = {{ – \left( {x – 1} \right)} \over {x – 1}} = – 1 \cr} \)
d. \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
Biểu thức xác định khi
\(\eqalign{ & {x^2} – 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 – x \ne 0,2x – 6 \ne 0 \cr & {x^2} – 36 \ne 0 \Rightarrow \left( {x – 6} \right)\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne – 6 \cr & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left( {x + 6} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne – 6 \cr & 6 – x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \cr & 2x – 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr} \)
Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.
Ta có : \(\left( {{x \over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right):{{2x – 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 – x}}\)
\(\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}} – {{x – 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}}} \right]:{{2x – 6} \over {x\left( {x + 6} \right)}} + {x \over {6 – x}} \cr & = {{{x^2} – {{\left( {x – 6} \right)}^2}} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} = {{{x^2} – {x^2} + 12x – 36} \over {x\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)}}.{{x\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} \cr & = {{12\left( {x – 3} \right)} \over {x – 6}}.{1 \over {2\left( {x – 3} \right)}} + {x \over {6 – x}} = {6 \over {x – 6}} – {x \over {x – 6}} = {{ – \left( {x – 6} \right)} \over {x – 6}} = – 1 \cr} \)
Bài 65 trang 41
Chứng minh rằng :
a. Giá trị của biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1
b. Giá trị của biểu thức \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\) bằng 1 khi \(x \ne 0,x \ne – 3,x \ne 3,x \ne – {3 \over 2}\)
Trả lời: a. \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)
Biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\)
Biểu thức \({{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)
hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne – 1\)
Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne 1\)
Ta có : \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)
\(\eqalign{ & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right] \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right) = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}} \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
b. Biểu thức : \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\) xác định khi \(x – 3 \ne 0,2x + 3 \ne 0,{x^2} – 3x \ne 0\) và \({x^2} – 9 \ne 0\)
hay \(x \ne 3;x \ne – {3 \over 2};x \ne 0;x \ne 3\) và \(x \ne \pm 3\)
Vậy điều kiện \(x \ne 0,x \ne 3,x \ne – 3\) và \(x \ne – {3 \over 2}\)
Ta có: \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x – 3} \right)}} – {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}} \right] \cr & = {x \over {x – 3}} – {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}.{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} – {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} \cr & = {x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 6x + 9 – {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = {x \over {x – 3}} – {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {2x – 3} \right)}} \cr & = {x \over {x – 3}} – {3 \over {x – 3}} = {{x – 3} \over {x – 3}} = 1 \cr} \)
Bài 66 trang 41
Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a – b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức
\({{x + 2} \over {x – 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) – {{8x + 7} \over {2{x^2} – 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;
b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :
\({{1 – {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} – 1} \right) + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.
HD: a. \({{x + 2} \over {x – 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) – {{8x + 7} \over {2{x^2} – 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne – 1\)
\(\eqalign{ & = {{x + 2} \over {x – 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} – {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} – {{8x + 7} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 – 8x – 7} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x – 3} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} – {x^2} + 2{x^3} – 2x + 3{x^2} – 3} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2}\left( {{x^2} – 1} \right) + 2x\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \)
Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne – 1\) và \(x \ne 1\)
b. \({{1 – {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} – 1} \right) + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne – 3\)
\(\eqalign{ & = {{1 – {x^2}} \over x}.{{{x^2} – \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – x – 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{{x^2} – x – 3 – {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ – {x^4} + {x^3} + 7{x^2} – 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} \over {x + 3}} = {{ – {x^3} – 3{x^2} + 4{x^2} + 12x – 5x – 15} \over {x + 3}} \cr & = {{ – {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) – 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { – {x^2} + 4x – 5} \right)} \over {x – 3}} \cr & = – {x^2} + 4x – 5 = – \left( {{x^2} – 4x + 5} \right) \cr} \)
Vì \({x^2} – 4x + 5 = {x^2} – 4x + 4 + 1 = {\left( {x – 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x
nên \( – \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne – 3\)
Bài 67 trang 42 Sách bài tập Toán 8 tập 1
Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x = – a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x = – a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x = – a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
Bài giải: a. \({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )
\(\eqalign{ & = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{x^2} + 4 – 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \over x} + 3 \cr & = x\left( {x – 2} \right) + 3 = {x^2} – 2x + 1 + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \cr} \)
Ta có: \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x
nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\)
\(x = 1\) thỏa mãn điều kiện
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\)
b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne – 2\))
\(\eqalign{ & = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 – {x^2}} \over {x + 2}} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 – {x^2}} \right)} \over x} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} \cr & = {{{x^2} + 2x – {x^3} + 2x + 4 – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 4} \over x} = {{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x} \over x} \cr & = {{ – x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} = – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = – \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right] \cr & = – \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] = – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \cr & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \le – 1 \cr} \)
nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1
x = – 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1
Câu II.1
(Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, Miền Bắc năm 1963)
Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và \(y = {3 \over {25}}\)
\(P = \left[ {\left( {{{x – y} \over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} \over {{x^2} – xy – 2{y^2}}}} \right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} – 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}}\)
Ta có : \(\eqalign{ & P = \left[ {\left( {{{x – y} \over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} \over {{x^2} – xy – 2{y^2}}}} \right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} – 4} \over {{x^2} + y + xy + x}}} \right]:{{x + 1} \over {2{x^2} + y + 2}} \cr & = \left[ {\left( {{{x – y} \over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right)}}} \right):{{{{\left( {2{x^2} + y} \right)}^2} – 4} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{\left( {y – x} \right)\left( {x + y} \right) – \left( {{x^2} + {y^2} + y – 2} \right)} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right)}}.{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y – 2} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = \left[ {{{{y^2} – {x^2} – {x^2} – {y^2} – y + 2} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right)}}.{{\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y – 2} \right)}}} \right].{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ – \left( {2{x^2} + y – 2} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + y} \right)\left( {x – 2y} \right)\left( {2{x^2} + y + 2} \right)\left( {2{x^2} + y – 2} \right)}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} \cr & = {{ – \left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x – 2y} \right)\left( {2{x^2} + y + 2} \right)}}.{{2{x^2} + y + 2} \over {x + 1}} = {{ – 1} \over {x – 2y}} = {1 \over {2y – x}} \cr} \)
Thay \(x = – 1,76;y = {3 \over {25}}\)
\(P = {1 \over {2.{3 \over {25}} – \left( { – 1,76} \right)}} = {1 \over {0,24 + 1,76}} = {1 \over 2}\)
Câu II.2 trang 42
(Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980).
Thực hiện phép tính :
\({1 \over {\left( {b – c} \right)\left( {{a^2} + ac – {b^2} – bc} \right)}} + {1 \over {\left( {c – a} \right)\left( {{b^2} + ab – {c^2} – ac} \right)}} + {1 \over {\left( {a – b} \right)\left( {{c^2} + bc – {a^2} – ab} \right)}}\)
Bài giải: \({1 \over {\left( {b – c} \right)\left( {{a^2} + ac – {b^2} – bc} \right)}} + {1 \over {\left( {c – a} \right)\left( {{b^2} + ab – {c^2} – ac} \right)}} + {1 \over {\left( {a – b} \right)\left( {{c^2} + bc – {a^2} – ab} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {1 \over {\left( {b – c} \right)\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right) + c\left( {a – b} \right)} \right]}} + {1 \over {\left( {c – a} \right)\left[ {\left( {b + c} \right)\left( {b – c} \right) + a\left( {b – c} \right)} \right]}} \cr & + {1 \over {\left( {a – b} \right)\left[ {\left( {c + a} \right)\left( {c – a} \right) + b\left( {c – a} \right)} \right]}} \cr & = {1 \over {\left( {b – c} \right)\left( {a – b} \right) + \left( {a + b + c} \right)}} + {1 \over {\left( {c – a} \right)\left( {b – c} \right)\left( {a + b + c} \right)}} + {1 \over {\left( {a – b} \right)\left( {c – a} \right)\left( {a + b + c} \right)}} \cr & = {{c – a + a – b + b – c} \over {\left( {a – b} \right)\left( {b – c} \right)\left( {c – a} \right)\left( {a + b + c} \right)}} = 0 \cr} \)
Trả lời