Bài 7 phép nhân các phân thức đại số – Sách bài tập Toán 8 tập 1
Bài 29 trang 32
Làm tính nhân phân thức :
a. \({{30{x^3}} \over {11{y^2}}}.{{121{y^5}} \over {25x}}\)
b. \({{24{y^5}} \over {7{x^2}}}.\left( { – {{21x} \over {12{y^3}}}} \right)\)
c. \(\left( { – {{18{y^3}} \over {25{x^4}}}} \right).\left( { – {{15{x^2}} \over {9{y^3}}}} \right)\)
d. \({{4x + 8} \over {{{\left( {x – 10} \right)}^3}}}.{{2x – 20} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
e. \({{2{x^2} – 20x + 50} \over {3x + 3}}.{{{x^2} – 1} \over {4{{\left( {x – 5} \right)}^3}}}\)
Giải bài 29: a. \({{30{x^3}} \over {11{y^2}}}.{{121{y^5}} \over {25x}}\)\( = {{30{x^3}.121{y^5}} \over {11{y^2}.25x}} = {{6{x^2}.11{y^3}} \over {1.5}} = {{66{x^2}{y^3}} \over 5}\)
b. \({{24{y^5}} \over {7{x^2}}}.\left( { – {{21x} \over {12{y^3}}}} \right)\) \( = {{24{y^5}.\left( { – 21x} \right)} \over {7{x^2}.12{y^3}}} = {{2{y^2}.\left( { – 3} \right)} \over x} = – {{6{y^2}} \over x}\)
c. \(\left( { – {{18{y^3}} \over {25{x^4}}}} \right).\left( { – {{15{x^2}} \over {9{y^3}}}} \right)\) \( = {{\left( { – 18{y^3}} \right).\left( { – 15{x^2}} \right)} \over {25{x^4}.9{y^3}}} = {{ – 2.\left( { – 3} \right)} \over {5{x^2}.1}} = {6 \over {5{x^2}}}\)
d. \({{4x + 8} \over {{{\left( {x – 10} \right)}^3}}}.{{2x – 20} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = {{4\left( {x + 2} \right).2\left( {x – 10} \right)} \over {{{\left( {x – 10} \right)}^3}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {8 \over {{{\left( {x – 10} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)
e. \({{2{x^2} – 20x + 50} \over {3x + 3}}.{{{x^2} – 1} \over {4{{\left( {x – 5} \right)}^3}}}\)\( = {{2\left( {{x^2} – 10x + 25} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {3\left( {x + 1} \right).4{{\left( {x – 5} \right)}^3}}}\)
\( = {{{{\left( {x – 5} \right)}^2}\left( {x – 1} \right)} \over {6{{\left( {x – 5} \right)}^3}}} = {{x – 1} \over {6\left( {x – 5} \right)}}\)
Bài 30 trang 32 SBT Toán 8 tập 1
Rút gọn biểu thức (chú ý dùng quy tắc đổi dấu để thấy nhân tử chung) :
a. \({{x + 3} \over {{x^2} – 4}}.{{8 – 12x + 6{x^2} – {x^3}} \over {9x + 27}}\)
b. \({{6x – 3} \over {5{x^2} + x}}.{{25{x^2} + 10x + 1} \over {1 – 8{x^3}}}\)
c. \({{3{x^2} – x} \over {{x^2} – 1}}.{{1 – {x^4}} \over {{{\left( {1 – 3x} \right)}^3}}}\)
Hướng dẫn: a. \({{x + 3} \over {{x^2} – 4}}.{{8 – 12x + 6{x^2} – {x^3}} \over {9x + 27}}\)\({{\left( {x + 3} \right)\left( {8 – 12x + 6{x^2} – {x^3}} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right).9\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = {{{2^3} – {{3.2}^2}.x + 3.2{x^2} – {x^3}} \over {9\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}} = {{{{\left( {2 – x} \right)}^3}} \over { – 9\left( {x + 2} \right)\left( {2 – x} \right)}} = – {{{{\left( {2 – x} \right)}^2}} \over {9\left( {x + 2} \right)}}\)
b. \({{6x – 3} \over {5{x^2} + x}}.{{25{x^2} + 10x + 1} \over {1 – 8{x^3}}}\)\( = {{3\left( {2x – 1} \right){{\left( {5x + 1} \right)}^2}} \over {x\left( {5x + 1} \right)\left[ {1 – {{\left( {2x} \right)}^2}} \right]}} = {{3\left( {2x – 1} \right)\left( {5x + 1} \right)} \over {x\left( {1 – 2x} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\)
\( = – {{3\left( {2x – 1} \right)\left( {5x + 1} \right)} \over {x\left( {2x – 1} \right)\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}} = – {{3\left( {5x + 1} \right)} \over {x\left( {1 + 2x + 4{x^2}} \right)}}\)
c. \({{3{x^2} – x} \over {{x^2} – 1}}.{{1 – {x^4}} \over {{{\left( {1 – 3x} \right)}^3}}}\)\( = {{x\left( {3x – 1} \right)\left( {1 – {x^4}} \right)} \over {\left( {{x^2} – 1} \right){{\left( {1 – 3x} \right)}^3}}} = {{x\left( {3x – 1} \right)\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} – 1} \right){{\left( {3x – 1} \right)}^3}}}\)
\( = {{x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {{{\left( {3x – 1} \right)}^2}}}\)
Bài 31 trang 32
Phân tích các tử thức và các mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm và bớt cùng một số hạng hoặc tách một số hạng thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :
a. \({{x – 2} \over {x + 1}}.{{{x^2} – 2x – 3} \over {{x^2} – 5x + 6}}\)
b. \({{x + 1} \over {{x^2} – 2x – 8}}.{{4 – x} \over {{x^2} + x}}\)
c. \({{x + 2} \over {4x + 24}}.{{{x^2} – 36} \over {{x^2} + x – 2}}\)
HD giải: a. \({{x – 2} \over {x + 1}}.{{{x^2} – 2x – 3} \over {{x^2} – 5x + 6}}\)\( = {{\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} – 2x – 3} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 5x + 6} \right)}} = {{\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} – 3x + x – 3} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – 3x + 6} \right)}}\)
\( = {{\left( {x – 2} \right)\left[ {x\left( {x – 3} \right) + \left( {x – 3} \right)} \right]} \over {\left( {x + 1} \right)\left[ {x\left( {x – 2} \right) – 3\left( {x – 2} \right)} \right]}} = {{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = 1\)
b. \({{x + 1} \over {{x^2} – 2x – 8}}.{{4 – x} \over {{x^2} + x}}\)\( = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4 – x} \right)} \over {\left( {{x^2} – 2x – 8} \right)x\left( {x + 1} \right)}} = {{4 – x} \over {\left( {{x^2} – 4x + 2x – 8} \right)x}}\)
\( = {{4 – x} \over {\left[ {x\left( {x – 4} \right) + 2\left( {x – 4} \right)} \right]x}} = {{4 – x} \over {x\left( {x – 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = – {{x – 4} \over {x\left( {x – 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = – {1 \over {x\left( {x + 2} \right)}}\)
c. \({{x + 2} \over {4x + 24}}.{{{x^2} – 36} \over {{x^2} + x – 2}}\)\({{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x – 6} \right)} \over {4\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + x – 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 6} \right)} \over {4\left( {{x^2} + 2x – x – 2} \right)}}\)
\( = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 6} \right)} \over {4\left[ {x\left( {x + 2} \right) – \left( {x – 2} \right)} \right]}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 6} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} = {{x – 6} \over {4\left( {x – 1} \right)}}\)
Bài 32 trang 33
Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:
a. \({{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 – x} \over {x + 1}}\)
b. \({{19x + 8} \over {x – 7}}.{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{4x – 2} \over {x + 1945}}\)
Giải bài 32 trang 33 SBT Toán 8 tập 1: a. \({{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 – x} \over {x + 1}}\)\( = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.\left( {{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{21 – x} \over {x + 1}}} \right)\)
\( = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{x + 1975} \over {x + 1}} = {{{x^3}\left( {x + 1975} \right)} \over {\left( {x + 1975} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)
b. \({{19x + 8} \over {x – 7}}.{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{4x – 2} \over {x + 1945}}\)\( = {{19x + 8} \over {x – 7}}.\left( {{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{4x – 2} \over {x + 1945}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{19x + 8} \over {x – 7}}.\left( {{{5x – 9} \over {x + 1945}} + {{2 – 4x} \over {x + 1945}}} \right) = {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{x – 7} \over {x + 1945}} = {{\left( {19x + 8} \right)\left( {x – 7} \right)} \over {\left( {x – 7} \right)\left( {x + 1945} \right)}} \cr & = {{19x + 8} \over {x + 1945}} \cr} \)
Bài 33 trang 33
Tính tích x, y , biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số) :
a. \(\left( {4{a^2} – 9} \right)x = 4a + 4\)với a ≠ \( \pm {3 \over 2}\) và \(\left( {3{a^3} + 3} \right)y = 6{a^2} + 9a\) với a ≠ − 1
b. \(\left( {2{a^3} – 2{b^3}} \right)x – 3b = 3a\)với a ≠ b và \(\left( {6a + 6b} \right)y = {\left( {a – b} \right)^2}\) với a ≠ − b
Chú ý rằng\({a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2a.{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} = {\left( {a + {b \over 2}} \right)^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0\).
Do đó nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 thì\({a^2} + ab + {b^2} > 0\)
Hướng dẫn giải: a. Vì a ≠ \( \pm {3 \over 2}\) nên\(4{a^2} – 9 \ne 0 \Rightarrow x = {{4a + 4} \over {4{a^2} – 9}}\)
Vì a ≠ − 1 nên \(3{a^3} + a \ne 0 \Rightarrow y = {{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + a}}\)
Do đó: \(xy = {{4a + 4} \over {4{a^2} – 9}}.{{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + 3}} = {{4\left( {a + 1} \right).3a\left( {2a + 3} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2a – 3} \right).3\left( {{a^3} + 1} \right)}}\)
\( = {{4a\left( {a + 1} \right)} \over {\left( {2a – 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} – a + 1} \right)}} = {{4a} \over {\left( {2a – 3} \right)\left( {{a^2} – a + 1} \right)}}\)
b. Vì a ≠ b nên \(2{a^3} – 2{b^3} \ne 0 \Rightarrow x = {{3a + 3b} \over {2{a^3} – 2{b^3}}}\)
Vì a ≠ − b nên \(6a + 6b \ne 0 \Rightarrow y = {{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}}\)
Do đó: \(xy = {{3a + 3b} \over {2{a^3} – 2{b^3}}}.{{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}} = {{3\left( {a + b} \right){{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {2\left( {{a^3} – {b^3}} \right).6\left( {a + b} \right)}}\)
\( = {{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {4\left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} = {{a – b} \over {4\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}\)
Bài 34 trang 33 Sách bài tập Toán 8 tập 1
Rút gọn biểu thức:
a. \({{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\)
b. \({{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} – 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\)
Trả lời: a. \({{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\)
\( = {{\left( {{x^4} + 15x + 7} \right).x.\left( {4{x^3} + 4} \right)} \over {\left( {2{x^3} + 2} \right).\left( {14{x^2} + 1} \right).\left( {{x^4} + 15x + 7} \right)}} = {{4x\left( {{x^3} + 1} \right)} \over {2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {14{x^2} + 1} \right)}} = {{2x} \over {14{x^2} + 1}}\)
b. \({{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} – 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\)\( = {{\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right).3x.\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {{x^3} – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right)}}\)
\( = {{3x\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{3x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Bài 35 trang 33
Đố: Đố em điền được một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau :
\({1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}…. = 1\)
Lời Giải: \({1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}.{{x + 10} \over 1} = 1\)
Câu 7.1 trang 33 SBT Toán 8 tập 1
Thực hiện các phép tính sau bằng hai cách : dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và không dùng tính chất này :
a. \({{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.\left( {{1 \over {x – 1}} – {{x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}} \right)\)
b. \({{{x^3} + 2{x^2} – x – 2} \over {2x + 10}}\left( {{1 \over {x – 1}} – {2 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}} \right)\)
Giải: Cách 1 :
a. \({{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.\left( {{1 \over {x – 1}} – {{x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.{1 \over {x – 1}} – {{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.{{x + 1} \over {{x^2} + x + 1}} \cr & = {{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)}} – {{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 2}} – {{{x^2} – 1} \over {x + 2}} = {{{x^2} + x + 1 – {x^2} + 1} \over {x + 2}} = {{x + 2} \over {x + 2}} = 1 \cr} \)
Cách 2 : \({{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.\left( {{1 \over {x – 1}} – {{x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.\left[ {{{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} – {{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right] \cr & = {{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.{{{x^2} + x + 1 – {x^2} + 1} \over {{x^3} – 1}} = {{{x^3} – 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {{x^3} – 1}} = 1 \cr} \)
b. Cách 1 : \({{{x^3} + 2{x^2} – x – 2} \over {2x + 10}}\left( {{1 \over {x – 1}} – {2 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{{x^2}\left( {x + 2} \right) – \left( {x + 2} \right)} \over {2x + 10}}.\left( {{1 \over {x – 1}} – {2 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}} \right) \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{1 \over {x – 1}} – {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{2 \over {x + 1}} + {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{1 \over {x + 2}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} – {{2\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} + {{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + x + 2 – 2{x^2} + 2x – 4x + 4 + {x^2} – 1} \over {2\left( {x + 5} \right)}} = {{x + 5} \over {2\left( {x + 5} \right)}} = {1 \over 2} \cr} \)
Cách 2 : \({{{x^3} + 2{x^2} – x – 2} \over {2x + 10}}\left( {{1 \over {x – 1}} – {2 \over {x + 1}} + {1 \over {x + 2}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) – 2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{{{x^2} + 2x + x + 2 – 2{x^2} – 4x + 2x + 4 + {x^2} – 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}}.{{x + 5} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over 2} \cr} \)
Câu 7.2 trang 33
Thực hiện phép nhân :
\({1 \over {1 – x}}.{1 \over {1 + x}}.{1 \over {1 + {x^2}}}.{1 \over {1 + {x^4}}}.{1 \over {1 + {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}}\)
Lời giải: \({1 \over {1 – x}}.{1 \over {1 + x}}.{1 \over {1 + {x^2}}}.{1 \over {1 + {x^4}}}.{1 \over {1 + {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}}\)
\(\eqalign{ & = {1 \over {1 – {x^2}}}.{1 \over {1 + {x^2}}}.{1 \over {1 + {x^4}}}.{1 \over {1 + {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}} \cr & = {1 \over {1 – {x^4}}}.{1 \over {1 + {x^4}}}.{1 \over {1 + {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}} \cr & = {1 \over {1 – {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^8}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}} \cr & = {1 \over {1 – {x^{16}}}}.{1 \over {1 + {x^{16}}}} = {1 \over {1 – {x^{32}}}} \cr} \)
Trả lời