Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}\);
b) \(2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\)
Gợi ý làm bài
a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}\)
\( = – 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} – (18 – 30\sqrt 2 + 25)\)
\( = – 10\sqrt 2 + 10 – 18 + 30\sqrt 2 – 25 = 20\sqrt 2 – 33\)
b) \(2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)
\( = 2\sqrt {3a} – \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} – {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \)
\( = 2\sqrt {3a} – 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} – 4a\sqrt {3a} \) (với a>0)
Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\)
với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
b) \({{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}\)
\( = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a – 2\sqrt {ab} + b} \over {a – b}}\)
\( = {{2(a + b)} \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
b) Ta có: \({{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\)
\( = {{(a – b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b – a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt b – b\sqrt a } \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
a) Chứng mình:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)
\(\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
Vì \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)
Giá trị biểu thức \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \({1 \over 4}\) khi \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)
Suy ra: \(x = – {{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:
a) \({2 \over {\sqrt 7 – 5}} – {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\);
b) \(\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 – 5}} + {{\sqrt 7 – 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\)
Gợi ý làm bài
a) Rút gọn biểu thức ta được \({{ – 10} \over {9}}$\) là số hữu tỉ.
b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.
Câu 84 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x biết:
a) \(\sqrt {4x + 20} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 9}\sqrt {9x + 45} = 6;\)
b) \(\sqrt {25x – 25} – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x – 1} .\)
Gợi ý làm bài
a) Điều kiện : \(x \ge – 5\)
Ta có:
\(\sqrt {4x + 20} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45} = 6\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)} – 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9(x + 5)} = 6\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} – 3\sqrt {x + 5} + 4\sqrt {x + 5} = 6\)
\( \Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = – 1\)
Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy x = -1
b) Điều kiện: \(x \ge 1\)
Ta có:
\(\sqrt {25x – 25} – {{15} \over 2}\sqrt {{{x – 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x – 1} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {25(x – 1)} – {5 \over 2}\sqrt {x – 1} – \sqrt {x – 1} = 6\)
\( \Leftrightarrow 5\sqrt {x – 1} – {5 \over 2}\sqrt {x – 1} – \sqrt {x – 1} = 6\)
\( \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x – 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 6.{2 \over 3}\)
\( \Leftrightarrow x – 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17\)
Giá trị x = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy x = 17
————-
Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức:
\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)
b) Tìm x để P = 2.
Gợi ý làm bài
a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\)
Ta có:
\(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x – 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{x + 2\sqrt x + \sqrt x + 2} \over {x – 4}} + {{2x – 4\sqrt x } \over {x – 4}} – {{2 + 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{x + 3\sqrt x + 2 + 2x – 4\sqrt x – 2 – 5\sqrt x } \over {x – 4}}\)
\( = {{3x – 6\sqrt x } \over {x – 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x – 2)} \over {(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}}\)
b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\)
Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho biểu thức:
\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)\)
a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).
b) Tìm giá trị của a để Q dương.
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a – 1}} – {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a – 2}} – {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a – 1}}} \right)\)
\( = {{\sqrt a – \left( {\sqrt a – 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right) – \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a – 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}\)
\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)}}\)
\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt {a – 1} } \right)} \over 3}\)
\( = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}\) (với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\))
b) Ta có: \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a > 0\)
Khi đó: \(Q = {{\sqrt a – 2} \over {3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a – 2 > 0\)
Ta có: \(\sqrt a – 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4\)
Vậy khi a>4 thì Q>0
Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:
\(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Gợi ý làm bài
Vì a, b và c không âm nên và $\sqrt c $ tồn tại.
Ta có: \({\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& a + b – 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)
\({\left( {\sqrt b – \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& b + c – 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)
\({\left( {\sqrt c – \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:
\(\eqalign{
& c + a – 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:
\({{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)
– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:
\(a + b + c + d \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \)
– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
\(a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \)
Trả lời