Câu 12 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x để căn thức sau có nghĩa:
a) \(\sqrt { – 2x + 3} \)
b) \(\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} \)
c) \(\sqrt {{4 \over {x + 3}}} \)
d) \(\sqrt {{{ – 5} \over {{x^2} + 6}}} \)
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\sqrt { – 2x + 3} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\( – 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow – 2x \ge – 3 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)
b) Ta có: \(\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({2 \over {{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \ne 0\)
c) Ta có: \(\sqrt {{4 \over {x + 3}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({4 \over {x + 3}} > 0 \Leftrightarrow x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > – 3\)
d) Ta có: \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên x2 + 6 > 0 với mọi x
Suy ra \({{ – 5} \over {{x^2} + 6}} < 0\) với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {{{ – 5} \over {{x^2} + 6}}} \) có nghĩa
Câu 13 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn rồi tính:
a) \(5\sqrt {{{( – 2)}^4}} \)
b) \( – 4\sqrt {{{( – 3)}^6}} \)
c) \(\sqrt {\sqrt {{{( – 5)}^8}} } \)
d) \(2\sqrt {{{( – 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( – 2)}^8}} \)
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& 5\sqrt {{{( – 2)}^4}} = 5\sqrt {{{\left[ {{{( – 2)}^2}} \right]}^2}} \cr
& = 5.\left| {{{( – 2)}^2}} \right| = 5.4 = 20 \cr} \)
b) \(\eqalign{
& – 4\sqrt {{{( – 3)}^6}} = – 4\sqrt {{{\left[ {{{\left( { – 3} \right)}^3}} \right]}^2}} \cr
& = – 4.\left| {{{\left( { – 3} \right)}^3}} \right| = – 4.\left| { – 27} \right| \cr
& = – 4.27 = – 108 \cr} \)
c) \(\eqalign{
& \sqrt {\sqrt {{{( – 5)}^8}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left[ {{{\left( { – 5} \right)}^4}} \right]}^2}} } \cr
& = \sqrt {{{( – 5)}^4}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { – 5} \right)}^2}} \right]}^2}} \cr
& = \left| {{{( – 5)}^2}} \right| = 25 \cr} \)
d) \(\eqalign{
& 2\sqrt {{{( – 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( – 2)}^8}} \cr
& = 2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { – 5} \right)}^3}} \right]}^2}} + 3.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { – 2} \right)}^4}} \right]}^2}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = 2.\left| {{{( – 5)}^3}} \right| + 3.\left| {{{( – 2)}^4}} \right| \cr
& = 2.\left| { – 125} \right| + 3.\left| {16} \right| \cr
& = 2.125 + 3.16 = 298 \cr} \)
Câu 14 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \);
b) \(\sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 3 } \right)}^2}} \);
c) \(\sqrt {{{\left( {4 – \sqrt {17} } \right)}^2}} \);
d) \(2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} \).
Gợi ý làm bài
a) \(\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {4 + \sqrt 2 } \right| = 4 + \sqrt 2 \)
b) \(\sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {3 – \sqrt 3 } \right| = 3 – \sqrt 3 \)
c) \(\sqrt {{{\left( {4 – \sqrt {17} } \right)}^2}} = \left| {4 – \sqrt {17} } \right| = \sqrt {17} – 4\)
d) \(\eqalign{
& 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 + \left| {2 – \sqrt 3 } \right| \cr
& = 2\sqrt 3 + 2 – \sqrt 3 = \sqrt 3 + 2 \cr} \)
Câu 15 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh:
a) \(9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}\);
b) \(\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } – \sqrt 5 = – 2\);
c) \({\left( {4 – \sqrt 7 } \right)^2} = 23 – 8\sqrt 7 \);
d) \(\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } – \sqrt 7 = 4.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr
& = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
VT = \(\sqrt {9 – 4\sqrt 5 } – \sqrt 5 = \sqrt {5 – 2.2\sqrt 5 + 4} – \sqrt 5 \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} – 2.2\sqrt 5 + {2^2}} – \sqrt 5 \cr
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}^2}} – \sqrt 5 \cr} \)
\(\left| {\sqrt 5 – 2} \right| – \sqrt 5 = \sqrt 5 – 2 – \sqrt 5 = – 2\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& {\left( {4 – \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} – 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr
& = 16 – 8\sqrt 7 + 7 = 23 – 8\sqrt 7 \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
VT = \(\eqalign{
& \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } – \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} – \sqrt 7 \cr} \)
= \(\eqalign{
& \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} – \sqrt 7 \cr
& = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} – \sqrt 7 \cr} \)
= \(\left| {4 + \sqrt 7 } \right| – \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 – \sqrt 7 = 4\)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Câu 16 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ?
a) \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \);
b) \(\sqrt {{x^2} – 4} \);
c) \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \);
d) \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \).
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) xác định khi và chỉ khi :
\((x – 1)(x – 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x – 1 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x – 1 \le 0 \hfill \cr
x – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\)
Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 3 thì \(\sqrt {(x – 1)(x – 3)} \) xác định.
b) Ta có: \(\sqrt {{x^2} – 4} \) xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr
& \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x \le – 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy với x ≤ -2 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{x^2} – 4} \) xác định.
c) Ta có: \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \) xác định khi và chỉ khi:
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x – 2 \ge 0 \hfill \cr
x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 2 \hfill \cr
x > – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x – 2 \le 0 \hfill \cr
x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x < – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 3\)
Vậy với x < -3 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{{x – 2} \over {x + 3}}} \) xác định.
d) Ta có: \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2 + x} \over {5 – x}} \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2 + x \ge 0 \hfill \cr
5 – x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x < 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow – 2 \le x < 5 \cr} \)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
2 + x \le 0 \hfill \cr
5 – x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x > 5 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) vô nghiệm.
Vậy với -2 ≤ x < 5 thì \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 – x}}} \) xác định
Câu 17 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Tìm x, biết:
a) \(\sqrt {9{x^2}} = 2x + 1\);
b) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x – 1\);
c) \(\sqrt {1 – 4x + 4{x^2}} = 5\);
d) \(\sqrt {{x^4}} = 7\).
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 2x + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \) (1)
Trường hợp 1:
\(3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x\)
Suy ra:
\(3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x – 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)
Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình (1).
Trường hợp 2:
\(3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = – 3x\)
Suy ra :
\(\eqalign{
& – 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow – 3x – 2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow – 5x = 1 \Leftrightarrow x = – {1 \over 5} \cr} \)
Giá trị \(x = – {1 \over 5}\) thỏa mãn điều kiện x < 0.
Vậy \(x = – {1 \over 5}\) là nghiệm của phương trình (1).
Vậy x = 1 và \(x = – {1 \over 5}\)
b) Ta có :
\(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x – 1\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x – 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \)
Suy ra :
\(\eqalign{
& x + 3 = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow x – 3x = – 1 – 3 \cr
& \Leftrightarrow – 2x = – 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \)
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < – 3 \cr
& \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = – x – 3 \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& – x – 3 = 3x – 1 \cr
& \Leftrightarrow – x – 3x = – 1 + 3 \cr
& \Leftrightarrow – 4x = 2 \Leftrightarrow x = – 0,5 \cr} \)
Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 : loại.
Vậy x = 2.
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {1 – 4x – 4{x^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} = 5 \cr
& \Leftrightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 5 \cr} \) (3)
Trường hợp 1:
\(\eqalign{
& 1 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 1 – 2x \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& 1 – 2x = 5 \Leftrightarrow – 2x = 5 – 1 \cr
& \Leftrightarrow x = – 2 \cr} \)
Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện \(x \le {1 \over 2}\)
Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3).
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& 1 – 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow \left| {1 – 2x} \right| = 2x – 1 \cr} \)
Suy ra:
\(2x – 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3\)
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\)
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3).
Vậy x = -2 và x = 3.
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = 7 \cr
& \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \)
Vậy \(x = \sqrt 7 \) và \(x = – \sqrt 7 \)
Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Phân tích thành nhân tử:
a) \({x^2} – 7\);
b) \({x^2} – 2\sqrt 2 x + 2\);
c) \({x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\).
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} – 7 = {x^2} – {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr
& = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x – \sqrt 7 } \right) \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} – 2\sqrt 2 x + 2 \cr
& = {x^2} – 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr
& = {\left( {x – \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr
& = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr
& = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \)
Câu 19 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các phân thức:
a) \({{{x^2} – 5} \over {x + \sqrt 5 }}\) (với \(x \ne – \sqrt 5 \))
b) \({{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} – 2}}\) (với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& {{{x^2} – 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} – {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr
& = {{\left( {x – \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)} \over {x + \sqrt 5 }} = x – \sqrt 5 \cr} \)
(với \(x \ne – \sqrt 5 \))
b) \(\eqalign{
& {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} – 2}} \cr
& = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x – \sqrt 2 } \right)}} \cr
& = {{x + \sqrt 2 } \over {x – \sqrt 2 }} \cr} \)
(với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) )
Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9;
b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3;
c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16;
d) \(\sqrt {11} – \sqrt 3 \) và 2.
Gợi ý làm bài
a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9
Ta có : 9 = 6 + 3
So sánh: \(2\sqrt 2 \) và 3 vì \(2\sqrt 2 \) > 0 và 3 > 0
Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\)
\({3^2} = 9\)
Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\)
Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\)
b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)
\({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\)
So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và 2
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 2.3 = 6 \cr} \)
\({2^2} = 4\)
Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\)
c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16
So sánh \(4\sqrt 5 \) và 5
Ta có: \(16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 \)
Vì \(\sqrt 5 > 0\) nên:
\(\eqalign{
& 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \)
Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\).
d) \(\sqrt {11} – \sqrt 3 \) và 2
Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} – \sqrt 3 > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} – \sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)
So sánh 10 và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa 5 và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Ta có: \({5^2} = 25\)
\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11.3 = 33 \cr} \)
Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)
Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)
Suy ra : \(\eqalign{
& 14 – 10 > 14 – 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)
Vậy \(\sqrt {11} – \sqrt 3 < 2\)
Câu 21 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a) \(\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } – \sqrt 3 \);
b) \(\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } – 3 + \sqrt 2 \);
c) \(\sqrt {9{x^2}} – 2x\) với x < 0 ;
d) \(x – 4 + \sqrt {16 – 8x + {x^2}} \) với x < 4.
Gợi ý làm bài
a) \(\eqalign{
& \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } – \sqrt 3 \cr
& = \sqrt {3 – 2\sqrt 3 + 1} – \sqrt 3 \cr} \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} – \sqrt 3 \cr
& = \left| {\sqrt 3 – 1} \right| – \sqrt 3 \cr
& = \sqrt 3 – 1 – \sqrt 3 = – 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& b)\,\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } – 3 + \sqrt 2 \cr
& = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} – 3 + \sqrt 2 \cr} \)
\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} – 3 + \sqrt 2 \cr
& = 3 + \sqrt 2 – 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cr} \)
\(\eqalign{
& c)\,\,\sqrt {9{x^2}} – 2x = \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} – 2x \cr
& = \left| {3x} \right| – 2x = – 3x – 2x = – 5x \cr} \)
( với x < 0)
\(\eqalign{
& d)\,\,x – 4 + \sqrt {16 – 8x + {x^2}} \cr
& = x – 4 + \sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2}} \cr} \)
\(\eqalign{
& = x – 4 + \left| {x – 4} \right| \cr
& = x – 4 + x – 4 = 2x – 8 \cr} \)
( với x > 4).
Câu 22 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức:
\(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} – {n^2}\)
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right| \cr
& = n + 1 + 1 = 2n + 1 \cr} \)
\(\eqalign{
& {(n + 1)^2} – {n^2} \cr
& = {n^2} + 2n + 1 – {n^2} \cr
& = 2n + 1 \cr} \)
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
Với n = 1, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} – {1^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 – 1 \cr} \)
Với n = 2, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} – {2^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 – 4 \cr} \)
Với n = 3, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} – {3^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 – 9 \cr} \)
Với n = 4, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} – {4^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 – 16 \cr} \)
Với n=5, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} – {5^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 – 25 \cr} \)
Với n=6, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} – {6^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 – 36 \cr} \)
Với n=7, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = \left( {7 + 1} \right) – {7^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 – 49 \cr} \)
Câu 2.1 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1
Đẳng thức nào đúng nếu x là số âm:
(A) \(\sqrt {9{x^2}} = 9x\)
(B) \(\sqrt {9{x^2}} = 3x\)
(C) \(\sqrt {9{x^2}} = – 9x\)
(D) \(\sqrt {9{x^2}} = – 3x.\)
Hãy chọn đáp án đúng
Gợi ý làm bài
Chọn (D)
Trả lời