Bài 3: Tổ hợp – Toán 10 Cánh Diều
=======
1.1. Định nghĩa
|
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. |
|---|
Ví dụ: Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.
Giải
Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:
{áo vàng; áo xanh}, (áo vàng; áo trắng}, {áo vàng; áo nâu}, {áo xanh; áo trắng}, (áo xanh; áo nâu}, (áo trắng; áo nâu}.
1.2. Các số tổ hợp, tính chất
Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.
|
+ Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phẩn tử với \(1 \le k \le n\). Ta có: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\). + \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\) + Tính chất: Ta có hai đẳng thức sau: \(C_n^k = C_n^{n – k}\left( {0 \le k \le n} \right)\) và \(C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k\left( {1 \le k \le n} \right)\). |
|---|
Quy ước: \(0! = 1;C_n^0 = 1\).
Ví dụ: Lớp 10A có 18 bạn nữ và 20 bạn nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam?
c) Có bao nhiêu cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam?
Giải
a) Mỗi cách chọn 3 bạn nữ trong 18 bạn nữ là một tổ hợp chập 3 của 18 phần tử, do đó có \(C_{18}^3\) cách chọn.
b) Mỗi cách chọn 5 bạn nam trong 20 bạn nam là một tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, do đó có \(C_{20}^5\) cách chọn.
c) Số cách chọn một tổ xung kích gồm 3 bạn nữ và 5 bạn nam là: \(C_{18}^3.C_{20}^5 = 816.15504 = 12654264\) (cách chọn).
Câu 1: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam.
a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.
b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?
Hướng dẫn giải
a) Ba cách chọn cặp đấu sẽ là:
+) Cách 1: Chọn Mạnh và Phong
+) Cách 2: Chọn Cường và Tiến
+) Cách 3: Chọn Phong và Cường
b) Mỗi cặp đấu gồm có 2 người nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.
Câu 2: Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiều cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.
Do đó có \(C_{10}^3 = 120\) (cách chọn)
Câu 3: Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 – C_{14}^3\)
Hướng dẫn giải
a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)
b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)
c) \(C_{15}^3 – C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} – \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} – \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)
============
Thuộc chủ đề: Chương 5: Đại số tổ hợp
Để lại một bình luận