Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp – Toán 10 Cánh Diều
=======
1.1. Hoán vị
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (\(n \in N*\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. |
---|
Ví dụ: Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ
Giải
Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 212, 621.
b) Số các hoán vị
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = n(n – 1)… 2. 1. |
---|
Quy ước: Tích 1. 2… n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1.2… n.
Như vậy Pn = n!
Ví dụ: Tính số cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.
Giải
Mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.
Vậy số cách sắp xếp là: P5 = 5 . 4 . 3. 2. 1 = 120.
1.2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Kết quả của việc lấy k phân tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phân tử đã cho. |
---|
Ví dụ: Hãy liệt kê tắt cả các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
Giải
Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số I, 2, 3, 4, 5 là:
12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
b) Số các chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\). Ta có: \(A_n^k = n\left( {n – 1} \right)…\left( {n – k + 1} \right)\). |
---|
Ví dụ: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?
Giải
Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.
Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).
Câu 1: Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Hướng dẫn giải
Một số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của sáu chữ số này.
Vậy số các số phải tìm là: \({P_6} = 6! = 720\)( số )
Câu 2: Trong vòng đấu loại trực tiếp của một giải bóng đá, nếu sau khi kết thúc 90 phút thi đấu và cả hai hiệp phụ của trận đấu mà kết quả vẫn hoà thì loạt đá luân lưu 11m sẽ được thực hiện. Tính số cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ.
Hướng dẫn giải
Mỗi cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ là một chỉnh hợp chập 5 của 11.
Vậy ta có \(A_{11}^5 = 55440\) (cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ)
Câu 3: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.
a. Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?
b. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?
Hướng dẫn giải
a. Vì hai bạn có vai trò như nhau nên số cách chọn là: 4.3 : 2 = 6 cách.
b. Chọn 2 bạn trong 4 bạn thì theo a số cách chọn là 6 cách.
Sau khi chọn 2 bạn, ta xếp vai trò 1 bạn làm nhóm trưởng, 1 bạn làm nhóm phó thì có 2 cách lựa chọn.
Vậy số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 6.2 = 12 cách.
============
Thuộc chủ đề: Chương 5: Đại số tổ hợp
Trả lời