Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai – Kết nối

Lý thuyết Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)

Đề giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c}  = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta thực hiện như sau: – Bình phương hai về và giải phương trình nhận được; – Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ:  Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} – 4x – 2}  = \sqrt {{x^2} – x – 2} \) 

Giải

Bình phương hai vế của phương trình, ta được: 

\(2{x^2} – 4x – 2 = {x^2} – x – 2\)

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} – 3x = 0\). Từ đó x = 0 hoặc x = 3.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 3.

1.2. Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)

Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta thực hiện như sau: – Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được; – Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} – 5x – 9}  = x – 1\)

Giải

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2{x^2} – 5x – 9 = x – 1\)

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} – 3x – 10 = 0\). Từ đó x = -2 hoặc x = 5.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 5 thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.

Bài tập minh họa

Câu 1:  Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt{3x^{2}-6x+1}=\sqrt{-2x^{2}-9x+1}\)

b) \(\sqrt{2x^{2}-3x-5}=\sqrt{x^{2}-7}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{3x^{2}-6x+1}=\sqrt{-2x^{2}-9x+1}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được”

\(3x^{2}-6x+1= -2x^{2}-9x+1\)

\(\Leftrightarrow \) \(5x^{2}+3x =0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-3}{5}\) hoặc x=0

Thử lại các giá trị vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x=\frac{-3}{5}\) hoặc x=0

b) \(\sqrt{2x^{2}-3x-5}=\sqrt{x^{2}-7}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2x^{2}-3x-5 = x^{2}-7\) 

\(\Leftrightarrow \) \(x^{2}-3x+2 = 0\) 

\(\Leftrightarrow x=2\) hoặc x=1

Thử lại các giá trị vào phương trình ban đầu ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 2:  Giải các phương trình sau:

a. \(\sqrt{2x^{2}+x+3}= 1-x\)            

b. \(\sqrt{3x^{2}-13x+14}= x-3\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt{2x^{2}+x+3}= 1-x\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2x^{2}+x+3= 1 -2x +x^{2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^{2}+3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2\) hoặc x=-1

Thử lại các giá trị đều thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = -2 hoặc x = -1

b) \(\sqrt{3x^{2}-13x+14}= x-3\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(3x^{2}-13x+14= x^{2}-6x+9\)

\(\Leftrightarrow\) \(x^{2}-7x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=\frac{5}{2}\)

Thử lại các giá trị 

• x = 1 không thỏa mãn phương trình.
• \(x = \frac{5}{2}\) không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình vô nghiệm.

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối