Lý thuyết Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai – Kết nối

Lý thuyết Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Người ta thường viết f(x) = ax2 + bx + c. Các đa thức đã cho A = \(0,5x^{2}\), B = \(1-x^{2}\), C = \(x^{2}+x+1\), D = (1-x)(2x+1) là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có ; a = 0,5; b = 0, c = 0.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2 + bx + c. 

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (\(a \ne 0\)). + Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) cùng dẫu với hệ số a với mọi \(x \in R\). + Nếu \(\Delta  = 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne  – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) và \(f\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right) = 0\). + Nếu \(\Delta  > 0\) thi tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( { – \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

Chú ý: Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay \(\Delta \) bởi \(\Delta ‘\).

Ví dụ: Xét dâu các tam thức bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x + 1\\
b) – \frac{3}{2}{x^2} + 9x – \frac{{27}}{2}\\
c)2{x^2} + 6x – 8
\end{array}\)

Giải

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = -3 < 0\) và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x \(\in\) R.

b) \(g(x) =  – \frac{3}{2}{x^2} + 9x – \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a =  – \frac{3}{2} > 0\) nên g(x) có nghiệm kép x = 3 và g(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(h(x) = 2{x^2} + 6x – 8\) có \(\Delta ‘ = 25 > 0,a = 2 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  – 4;{x_2} = 1\).

Do đó ta có bẳng xét dấu h(x)

Suy ra h(x) > 0 với mọi \(x \in \left( { – \infty ; – 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và h(x) < 0 với mọi \(x \in \left( { – 4;1} \right)\).

1.2. Bất phương trình bậc hai

+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax2+ bx + c > 0 (hoặc ax2+ bx + c > 0, ax2+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và \(a \ne 0\). + Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0, nếu ax2+ bx + c > 0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bắt phương trình này. + Giải bất phương trình bậc hai f(x)= ax2+ bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó f(x) cùng dấu với hệ số a (nếu a > 0) hay trái dầu với hệ số a (nếu a < 0).

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0 (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), ax2+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)) ta cần xét dấu tam thức ax2+ bx + c, từ đó suy ra tập nghiệm. 

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a)3{x^2} + x + 5 \le 0\\
b) – 3{x^2} + 2\sqrt 3  – 1 \ge 0\\
c) – {x^2} + 2x + 1 > 0
\end{array}\)

Giải

a) Tam thức \(f(x) = 3{x^2} + x + 5\) có \(\Delta  =  – 59 < 0\), hệ số a = 3 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(3{x^2} + x + 5 > 0\) với mọi \(x \in R\). Suy ra bất phường trình vô nghiệm.

b) Tam thức \(f(x) =  – 3{x^2} + 2\sqrt 3  – 1\) có \(\Delta ‘ = 0\), hệ số a = -3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), tức là \(- 3{x^2} + 2\sqrt 3  – 1 < 0\) với mọi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

c) Tam thức \(f(x) =  – {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta ‘ = 2 > 0\) nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 – \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \) 

Mặt khác a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1 – \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\) 

Bài tập minh họa

Câu 1:  Cho hàm số bậc hai \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\).

a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.

b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng \((-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )\), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?

c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.

Hướng dẫn giải

a) a = 1

\(f(0)=0^{2}-4.0+3=3\), cùng dấu với a

\(f(1)=1^{2}-4.1+3=0\), không mang dấu

\(f(2)=2^{2}-4.2+3=-1\), trái dấu với a

\(f(3)=3^{2}-4.3+3=0\), không mang dấu.

\(f(4)=4^{2}-4.4+3=3\), cùng dấu với a

b)

\((-\infty ;1)\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.

(1; 3): đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

\((3;+\infty )\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.

c.

\((-\infty ;1)\): f(x) và hệ số a cùng dấu.

(1; 3): f(x) và hệ số a trái dấu.

\((3;+\infty )\): f(x) và hệ số a cùng dấu.

Câu 2:  Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(-5x^{2}+x-1\leq 0\)       

b) \(x^{2}-8x+16\leq 0 \)         

c) \(x^{2}-x+6> 0 \)

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = \(-5x^{2}+x-1\) có \( \Delta = -19<0\), a = -5 < 0 nên f(x) luôn âm. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\)

b) Tam thức f(x) = \(x^{2}-8x+16\) có \(\Delta =0\) và a = 1 > 0 nên f(x) \(\geq >0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

c) Tam thức f(x) = \(x^{2}-x+6\) \(\Delta = -23<0\), a = 1 > 0 nên f(x) luôn dương. Suy ra bất phương trình luôn đúng.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\).

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối