Lý thuyết Bài 16: Hàm số bậc hai
=============
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Khái niệm hàm số bậc hai
| Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức \(y = a{x^2} + bx + c\) trong đó x là biến số, a, b, c là các hằng số và \(a \ne 0\). Tập xác định của hàm số bậc hai là R. |
|---|
Nhận xét
Hàm số \(y = a{x^2}(a \ne 0)\) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với a = c = 0.
Ví dụ: Xét hàm số bậc hai y = -2x2 + 10x. Thay dấu “?” bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số.
Giải
Thay các giá trị của x vào công thức hàm số, ta được:
1.2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Gọi (P0) là Parabol y = ax2. nếu ta “dịch chuyển” (P0) theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) thì ta sẽ thu được đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c có dạng như hình sau:
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c \(\left( {a \ne 0} \right)\) là một parabol.
| + Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c \(\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}; – \frac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \({x = – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}}\). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. + Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta tiến hành theo các bước sau: 1. Xác định toạ độ đính \(I\left( { – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}; – \frac{\Delta }{{4{\rm{a}}}}} \right)\); 2. Vẽ trục đối xứng \({x = – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}}\); 3. Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol; 4. Vẽ parabol. |
|---|
Ví dụ: Vẽ parabol y = -2x2 – 2x + 4.
b) Từ đồ thị, hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất của hàm số y = -2×2 – 2x + 4..
Giải
a) Ta có a = -2 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới. Đỉnh \(I\left( { – \frac{1}{2};\frac{9}{2}} \right)\) Trục đối xứng \({x = – \frac{1}{2}}\). Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0: 4). Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y = -2×2 – 2x + 4, tức là x = 1 và x = -2.
Để vẽ đồ thị chinh xác hơn, ta có thể lấy thêm điểm đối xửng với A qua trục đối xứng \({x = – \frac{1}{2}}\) là \(B\left( { – 1;4} \right)\).
b) Từ đồ thị ta thầy:
+ Hàm số y = -2×2 – 2x + 4 đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)\);
+ Giá trị lớn nhất của hàm số là \(y = \frac{9}{2}\), khi \(x = – \frac{1}{2}\).
Bài tập minh họa
Câu 1: Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giấy) theo công thức: h = \(19,6-4,9t^{2}\); \(h, t\geq 0\).
a. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất?
b. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.
Hướng dẫn giải
a. Viên bị chạm đất khi h = 0
Hay \(19,6-4,9t^{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 4,9t^{2}=19,6\\\Leftrightarrow t^{2}=4\\\Rightarrow t=2\) (do \(t\geq 0\).)
Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất.
b. Tập xác định: D = \([0; +\infty )\)
Ta có: \(t^{2}\geq 0\Rightarrow 19,6-4,9t^{2}\leq 19,6\)
Tập giá trị: \([0;19,6]\).
Câu 2: Vẽ parabol \(y=3x^{2}-10x+7\). Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3x^{2}-10x+7\).
Hướng dẫn giải
Tọa độ điểm đỉnh: \((\frac{5}{3};\frac{-4}{3})\)
Khoảng đồng biến: \((\frac{-4}{3};+\infty )\)
Khoảng nghịch biến: \((-\infty;\frac{-4}{3} )\)
=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối
Để lại một bình luận