Học Bài 2. Cấp số Cộng– Toán 11 CTST

A. Lý thuyết Cấp số cộng – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

=========
1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, nghĩa là:

\({u_n} = {u_{n – 1}} + d,n \ge 2\)

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nhận xét: Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của 2 sô hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:

\({u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\left( {k \ge 2} \right)\)

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định theo công thức\({u_n} = {u_1} + (n – 1)d,n \ge 2.\)

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)với công sai d. Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\)
=========

B. Bài tập Cấp số cộng

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3, ∀n ∈ ℕ*. Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?

Hướng dẫn giải

Ta có: u_{n + 1} = u_n – 3 ⇒ u_{n + 1} − u_n = −3 ⇒ d = −3.

u_n = u₁ + (n – 1)d = 321 + (n – 1)(−3) = −3n + 324.

Ta có: u_n = 99 ⇒ −3n + 324 = 99

⇒ −3n = −225 ⇒ n = 75.

Vậy 99 là số hạng thứ 75 trong dãy số.

Bài 2. Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ = 2017 và u₃ = 1945. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có u₃ – u₂ = 1945 – 2017 = –72 ⇒ d = −72.

⇒ u₁ = u₂ − d = 2017 + 72 = 2089.

u₆ = u₁ + 5d = 2089 + 5.(−72) = 1729.

Vậy số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho là 1729.

Bài 3. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1/3,  u₈=26 . Tìm d và xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có  u₈=u₁+7d ⇔26=1/3+7d

⇔7d=77/3⇔d=11/3.

Vậy công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là \(u_n=u_1+\frac{11}{3}(n–1)\)

Câu hỏi trắc nghiệm (10 câu):
Câu 1:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=5,\) công sai \(\text{d}=4.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.\({{u}_{n}}=5\cdot {{4}^{n-1}}.\)

B.\({{u}_{n}}=5+{{4}^{n-1}}.\)

C.\({{u}_{n}}=5n.\)

D.\({{u}_{n}}=4n+1.\)

Câu 2:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\), biết \({{u}_{2}}=3\) và \({{u}_{4}}=7\). Giá trị của \({{u}_{15}}\) bằng

A.\(27\).

B.\(35\).

C.\(31\).

D.\(29\).

Câu 3:
Một vườn trồng cây giống có dạng tam giác. Biết rằng hàng đầu tiên trồng \(5\) cây giống và cứ hàng sau được trồng nhiều hơn hàng đứng liền trước nó là \(3\) cây. Hỏi hàng thứ \(10\) có bao nhiêu cây giống được trồng?

A.\(32\).

B.\(53\).

C.\(48\).

D.\(35\).

Câu 4:
Cho dãy số có các số hạng đầu là \(8,\,13,\,18,\,23,\,28,…\) Số hạng tổng quát của dãy số này là

A.\({{u}_{n}}=5n-3\).

B.\({{u}_{n}}=5n+2\).

C.\({{u}_{n}}=5n+3\).

D.\({{u}_{n}}=5n-1\).

Câu 5:
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\), công sai \(d=5\), số hạng thứ tư là:

A.\({{u}_{4}}=18\). B.\({{u}_{4}}=8\).C.\({{u}_{4}}=23\).D.\({{u}_{4}}=14\).

Câu 6:
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{4}}=-12\), \({{u}_{14}}=18\). Tính tổng của \(16\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

A.\({{S}_{16}}=-24\).

B.\({{S}_{16}}=24\).

C.\({{S}_{16}}=26\).

D.\({{S}_{16}}=-25\).

Câu 7:
Cho một cấp số cộng có \({{u}_{1}}=-\frac{1}{2}\); \(d=\frac{1}{2}\). Hãy chọn kết quả đúng.

A.Dạng khai triển: \(-\frac{1}{2}\,;0\,;\frac{1}{2}\,;0\,;\frac{1}{2}\,;…\)

B.Dạng khai triển: \(\frac{1}{2}\,;1\,;\frac{3}{2}\,;2\,;\frac{5}{2}\,;…\)

C.Dạng khai triển: \(-\frac{1}{2}\,;0\,;1\,;\frac{1}{2}\,;1\,;…\)

D.Dạng khai triển: \(-\frac{1}{2}\,;0\,;\frac{1}{2}\,;1\,;\frac{3}{2}\,;…\)

Câu 8:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A.Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.

B.Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

C.Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.

D.Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.

Câu 9:
Cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\), công sai \(d=-2\) thì số hạng thứ 5 là

A.\({{u}_{5}}=8\).

B.\({{u}_{5}}=1\).

C.\({{u}_{5}}=-5\).

D.\({{u}_{5}}=-7\).

Câu 10:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và công sai \(d=2\). Tổng \({{S}_{10}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}…..+{{u}_{10}}\) bằng:

A.\({{S}_{10}}=110\).

B.\({{S}_{10}}=100\).

C.\({{S}_{10}}=21\).

D.\({{S}_{10}}=19\).