Học Bài 3. Cấp số Nhân – Toán 11 CTST

Lý thuyết Cấp số nhân – SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo
=========
1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:

\({u_n} = {u_{n – 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức

\({u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},n \ge 2\)

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\)
==========
Bài tập minh họa

Bài 1. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 2 và u₅ = 16. Tìm q và u₁ của cấp số nhân đã cho.

Bài 2. Dãy số (u_n) có u_n = 4.3n có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội?

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và q=1/2 Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
Bài 4. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) thoả mãn hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_4} – {u_2} = 72}\\ {{u_5} – {u_3} = 144} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_4} – {u_2} = 72}\\ {{u_5} – {u_3} = 144} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}.{q^3} – {u_1}.q = 72\\ {u_1}.{q^4} – {u_1}.\;{q^2} = 144 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}({q^3} – q) = 72\\ {u_1}({q^4} – {q^2}) = 144 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q({q^2} – 1) = 72\;\;\;\;(1)\\ {u_1}{q^2}({q^2} – 1) = 144\;\;\;\;\;\;(2) \end{array} \right. \end{array}\)

Lấy (2) chia (1) ta được q = 2.

Thay vào (1) suy ra \(u_1=12\).