GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp – SÁCH GIÁO KHOA Cánh Diều
================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp
Bài tập
Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.
a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).
b) Gọi G1, G2lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.
c) Chứng minh rằng BG1= G1G2= D’G2.
Lời giải:
a)
Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);
(ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;
(A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.
Do đó AC // A’C’.
Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).
Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).
Ta có: AC // (A’C’D);
AB’ // (A’C’D);
AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).
Do đó (ACB’) // (A’C’D).
b)
• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.
Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G1.
Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G1là giao điểm của BD’ với (ACB’).
Trong mp(BDD’B’), xétBDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G1nên G1là trọng tâm của DBDB’
Do đó
Trong (ACB’), xétACB’ có B’O là đường trung tuyến và
Suy ra G1là trọng tâm củaACB’.
• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G2là trọng tâm củaDD’B’ nên
Trong (A’C’D),A’C’D có DO’ là đường trung tuyến và
Suy ra G2là trọng tâm củaA’C’D.
c) Theo chứng minh câu b, ta có:
• G1là trọng tâm củaBDB’ nênvà
• G2là trọng tâm củaDD’B’ nênvà
Do đóvà
Ta có:và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)
Suy ra BG1= D’G2.
Lại cónên IG1= IG2=BG1
Do đó G1G2= IG1+ IG2=BG1+BG1= BG1.
Vậy BG1= G1G2= D’G2.
Bài 2 trang 113 Toán 11 Tập 1:Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA’, C’D’, AD’. Chứng minh rằng:
a) NQ // A’D’ và NQ =A’D’;
b) Tứ giác MNQC là hình bình hành;
c) MN // (ACD’);
d) (MNP) // (ACD’).
Lời giải:
a)
Trong mp(ADD’A’), xét DAA’D’ có N, Q lần lượt là trung điểm của AA’ và AD’
Do đó NQ là đường trung bình của tam giác
Suy ra NQ // A’D’ và NQ =A’D’.
b)
Ta có: A’D’ // AD // BC, mà NQ // A’D’ (câu a) nên NQ // BC hay NQ // MC.
Ta cũng có A’D’ = AD = BC, mà NQ =A’D’ (câu a) nên NQ =BC
Lại có BM = MC =BC (do M là trung điểm BC)
Do đó NQ = MC.
Tứ giác MNQC có NQ // MC và NQ = MC nên là MNQC hình bình hành.
c)
Do MNQC hình bình hành nên MN // QC
Mà QC ⊂ (ACD’) nên MN // (ACD’).
d)
Gọi O là trung điểm của ABCD.
Trong (ABCD), xét DABC có O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung bình của tam giác
Do đó OM // AB và OM =AB.
Mà AB // D’P nên OM // D’P.
Lại có D’P =D’C’ và D’C’ = AB nên OM = D’P.
Xét tứ giác D’PMO có OM // D’P và OM = D’P nên là hình bình hành
Suy ra PM // D’O
Mà D’O ⊂ (ACD’) nên PM // (ACD’).
Ta có: MN // (ACD’);
PM // (ACD’);
MN, PM cắt nhau tại điểm M và cùng nằm trong mp(MNP)
Do đó (MNP) // (ACD’).
Bài 3 trang 113 Toán 11 Tập 1:Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B’.
a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.
Lời giải:
a)
Gọi M là trung điểm của BC.
Trong mp(ABC), xétABC có E, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên EM là đường trung bình của tam giác
Do đó EM // AB và EM =AB.
Mà AB // A’B’ nên EM // A’B’ hay EM // FB’.
Lại có AB = A’B’ và FB’ =A’B’ nên EM = FB’.
Trong mp(EMB’F), xét tứ giác EMB’F có EM // FB’ và EM = FB’ nên là hình bình hành.
Do đó EF // B’M, mà B’M ⊂ (BCC’B’) nên EF // (BCC’B’).
b)
Gọi N là trung điểm của AB.
Trong mp(ABB’A’), xét hình bình hành ABB’A’ cũng là hình thang có N, F lần lượt là trung điểm của AB, A’B’ nên NF là đường trung bình của hình thang
Do đó NF // BB’ và.
Mà BB’ // CC’ nên NF // CC’.
Lại có BB’ = CC’ nên NF = CC’.
Trong mp(NFC’C), xét tứ giác NFC’C có NF // CC’ và NF = CC’ nên là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo CF và NC’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lại có NC’ ⊂ (ABC’) nên CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.
Vậy CF cắt (ABC’) tại trung điểm I của CF.
==== ~~~~~~ ====
=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – Cánh Diều
Trả lời