Giải SBT Bài CUỐI Chương 5 – SBT Toán 10 CHÂN TRỜI – GIẢI CHI TIẾT
===========
Giải bài 1 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = 3,BC = 4\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} \) là:
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
Phương pháp giải
Tính \(\overrightarrow {AC} = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\overrightarrow {AC} = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
Chọn A
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 2 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối la các đỉnh của lục giác là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
Phương pháp giải
Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) là các vectơ có giá song song với cạnh OC , có cùng hướng với vectơ đó và độ dài của cạnh OC
Vậy các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) là : \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {ED} \)
Lời giải chi tiết
Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có điểm đầu và điểm cuối la các đỉnh của lục giác là \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {ED} \).
Chọn A. 2
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho ba diểm phân biết A, B, C. Khằng định nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} \)
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \)
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \)
D. \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \)
Phương pháp giải
Nhận xét từng đáp án
Lời giải chi tiết
A. \(\overrightarrow {CA} – \overrightarrow {BA} =\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {CB} \) => Loại A
B sai vì \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \)
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {CB} \) => C đúng
Chọn C.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hai điểm phân biệt A và B. Điều kiện để điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. \(IA = IB\)
B. \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \)
C. \(\overrightarrow {IA} = – \overrightarrow {IB} \)
D. \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BI} \)
Phương pháp giải
Để I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I phải nằm giữa A, B và \(IA = IB\)
Lời giải chi tiết
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} \) đối nhau hay \(\overrightarrow {IA} = – \overrightarrow {IB} \)
Chọn C.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {GI} \)
B. \(\overrightarrow {IG} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {IA} \)
C. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GI} \)
D. \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} \)
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AI} \)
Chọn C
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 6 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình bình hành ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BC} \)
B. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \)
C. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {CD} \)
D. \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CD} \)
Phương pháp giải
Quy tắc hình bình hành:
Cho hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Nghĩa là: Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường chéo có cùng điểm đầu đó.
Lời giải chi tiết
Áp dụng quy tắc và tính chất của hình bình hành ta có
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \)
Chọn A
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 7 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \)
B. \(\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \) và \(2\overrightarrow a – \overrightarrow b \)
C. \(5\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \( – 10\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \)
D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a – \overrightarrow b \)
Phương pháp giải
Xét từng đáp an rồi đưa ra kết quả
Lời giải chi tiết
Ta có:
\( – 10\overrightarrow a – 2\overrightarrow b = -2 (5\overrightarrow a + \overrightarrow b )\)
=> Hai vecto \(5\overrightarrow a + \overrightarrow b \) và \( – 10\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \) cùng phương.
=> Chọn C
Xét các đáp án còn lại:
Giả sử \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b =k (\overrightarrow a + 2\overrightarrow b) \)
\( \Leftrightarrow \left( {2 – k} \right)\overrightarrow a = \left( {2k – 1} \right)\overrightarrow b \)
Mà \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
=> \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) cùng phương (Vô lí vì A, B, C không thẳng hàng)
=> Loại A
Tương tự, ta loại các đáp án B, D.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 8 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Tam giác ABC vuông ở A và có \(\widehat B = 50^\circ \). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 130^\circ \)
B. \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 40^\circ \)
C. \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ \)
D. \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ \)
Phương pháp giải
Vẽ hình rồi nhận xét từng đáp án
Lời giải chi tiết
Ta có \(\widehat C = 180^\circ – \widehat A – \widehat B = 40^\circ \)
+ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC}) = \widehat {BCD}= 130^\circ \) => A đúng
+ \(\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = (\overrightarrow {CF} ,\overrightarrow {CE}) = \widehat {ECF} =40^\circ \) => B đúng
+ \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CB} } \right) = (\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BG}) = \widehat {DBG} =50^\circ \) => C đúng
+ \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = (\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB}) = \widehat {ECB} =140^\circ \) => D sai
Chọn D.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 9 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)
B. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = – 1\)
D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = – \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)
Phương pháp giải
Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết
Ta có hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) nên \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \\ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos 0^\circ = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)
Chọn A.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 10 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác ABC vuông tại A. KHẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)
C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \)
Phương pháp giải
Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \): \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\)
Lời giải chi tiết
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} < \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
+ \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos B > 0\) (vì \({0^ \circ } < \widehat B < {90^ \circ }\))
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} > 0 = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)=> A đúng
B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \)
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat {BCE} < 0\) (vì \(\widehat {BCE} > {90^ \circ }\))
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \cos \widehat {ECF} > 0\) (vì \({0^ \circ } < \widehat C < {90^ \circ }\))
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} < 0 < \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \) => B đúng
C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {CBD} < 0\) (vì \(\widehat {CBD} > {90^ \circ }\))
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \cos \widehat C > 0\) (vì \({0^ \circ } < \widehat C < {90^ \circ }\))
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} < 0 < \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \) => C đúng
D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} < \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \)
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \cos \widehat {ECF} > 0\) (vì \({0^ \circ } < \widehat {ECF} < {90^ \circ }\))
+ \(\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \cos \widehat {CBD} < 0\) (vì \(\widehat {CBD} > {90^ \circ }\))
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} > 0 > \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \) => D đúng
Chọn D.
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 1 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
a) cùng hướng?
b) ngược hướng?
Phương pháp giải
+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
+) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.
Lời giải chi tiết
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng
=> A, B, C thẳng hàng và B, C nằm về cùng phía so với điểm A.
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) ngược hướng
=> A, B, C thẳng hàng và B, C nằm về hai phía so với điểm A.
(Hay A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 2 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng phương. Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ cùng hướng trong ba vectơ đó.
Phương pháp giải
+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
+) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.
Lời giải chi tiết
Hai vecto cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ TH1: \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng hoặc \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) cùng hướng
Ta có ngay điều phải chứng minh
+ TH1: \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) ngược hướng
=> \(\overrightarrow a ,\overrightarrow c \) cùng hướng (do cùng ngược hướng với \(\overrightarrow b\))
Vậy luôn có 2 trong 3 vecto cùng hướng với nhau (đpcm).
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 3 trang 102 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Hãy so sánh các vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {B’C} ,\overrightarrow {AB’} \) và \(\overrightarrow {HC} \)
Phương pháp giải
Vẽ hình
Chứng minh AB’CH là hình bình hành
Lời giải chi tiết
Ta có B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O nên BB’ là đường kính, suy ra \(\widehat {B’CB} = 90^\circ \Rightarrow B’C \bot BC\) và \(\widehat {B’AB} = 90^\circ \Rightarrow B’A \bot BA\)
Mặt khác ta có: \(AH \bot BC,CH \bot AB\), suy ra \(B’C//AH,AB’//CH\)
Suy ra AB’CH là hình bình hành
Vậy \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B’C} \) và \(\overrightarrow {AB’} = \overrightarrow {HC} \)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \), ta có:
\(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Phương pháp giải
Xét các trường hợp sau:
TH1: \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \)
TH2: \(\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
TH3: \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
Lời giải chi tiết
TH1: \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\)
TH2: \(\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\)
TH3: \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
Lấy A bất kì, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \). Dựng hình bình hành ABCD, đặt \(\overrightarrow c = \overrightarrow {AC} \)
Ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \)
Xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\(AB – BC < AC < AB + BC\)
Mà \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = BC;\left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC;\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow 0 \)
Phương pháp giải
Giả sử \(OA = OB = OC = OD = OE = 1\)
+ Dựng hình bình hành OEHB.
+ Tính OM:
+ Dựng hình bình hành OCKD
+Tính OK
Lời giải chi tiết
Không mất tính tổng quát giả sử \(OA = OB = OC = OD = OE = 1\)
Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = {360^ \circ }:5 = {72^ \circ }\)
+ Dựng hình bình hành OEHB.
Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của \(\widehat {EOB}\)hay H thuộc OA.
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OM} \) với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA.
+ Tính OM:
Xét tam giác OHE, ta có:
\(\widehat {HOE} = 72;OE = HE = 1\) \( \Rightarrow \widehat {OHE} = {72^o} \Rightarrow \widehat {OEH} = {180^ \circ } – {72^o} – {72^o} = {36^ \circ }\)
Áp dụng định lí cosin: \(O{H^2} = O{E^2} + E{H^2} – 2.OE.OH.\cos E\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow O{H^2} = 1 + 1 – 2.\cos {36^ \circ } \approx 0,382\\ \Rightarrow OH = 0,618\\ \Rightarrow OM = OH + OA = 0,618 + 1 = 1,618\end{array}\)
+ Dựng hình bình hành OCKD, ta có: \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OK} \)
Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của \(\widehat {COD}\)
\( \Rightarrow \widehat {COK} = \frac{1}{2}\widehat {COD} = \frac{1}{2}{.72^o} = {36^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {KOA} = \widehat {KOC} + \widehat {COB} + \widehat {BOA} = {36^ \circ } + {72^ \circ } + {72^ \circ } = {180^ \circ }\)
Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA).
+Tính OK:
Xét tam giác OCK, ta có:
\(\begin{array}{l}OC = CK = 1;\widehat {COK} = {36^o} \Rightarrow \widehat {CKO} = {36^o}\\ \Rightarrow \widehat {OCK} = {180^o} – {36^o} – {36^o} = {108^o}\\ \Rightarrow O{K^2} = O{C^2} + C{K^2} – 2.OC.CK.\cos \widehat {OCK}\\ \Leftrightarrow O{K^2} = 1 + 1 – 2.\cos {108^o} \approx 2,618\\ \Rightarrow OK = 1,618 = OM\end{array}\)
Vậy O là trung điểm KM hay \(\overrightarrow {OK} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\\ = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OK} = \overrightarrow 0 (dpcm)\end{array}\)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
Giải bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 – CTST
Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có: \(\overrightarrow {{\text{OA}}} + \overrightarrow {{\text{OB}}} + \overrightarrow {{\text{OC}}} = \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} \)
Phương pháp giải
A’ là điểm đối xứng với B qua A nên \(\overrightarrow {{\text{AB}}} = \overrightarrow {{\text{AA’}}} \)
B’ là điểm đối xứng với C qua B nên \(\overrightarrow {{\text{BC}}} = \overrightarrow {{\text{BB’}}} \).
C’ là điểm đối xứng với A qua C nên \(\overrightarrow {{\text{CA}}} = \overrightarrow {{\text{CC’}}} \).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{gathered}
\overrightarrow {{\text{OA}}} + \overrightarrow {{\text{OB}}} + \overrightarrow {{\text{OC}}} \hfill \\
= \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{AA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{BB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} + \overrightarrow {{\text{CC’}}} \hfill \\
= \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} + \overrightarrow {{\text{AB}}} + \overrightarrow {{\text{BC}}} + \overrightarrow {{\text{CA}}} \hfill \\
= \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} + \overrightarrow {{\text{AC}}} + \overrightarrow {{\text{CA}}} \hfill \\
= \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} \hfill \\
\end{gathered} \)
Vậy \(\overrightarrow {{\text{OA}}} + \overrightarrow {{\text{OB}}} + \overrightarrow {{\text{OC}}} = \overrightarrow {{\text{OA’}}} + \overrightarrow {{\text{OB’}}} + \overrightarrow {{\text{OC’}}} \)
GIẢI SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 5
===========
THUỘC: Giải sách bài tập Toán 10 – Chân trời
Trả lời