Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) (Cánh diều) Bài tập cuối chương 2 – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2

Bài 47 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u_n= 5ⁿ– n. Số hạng u_{n + 1}là:

A. 5^{n + 1}– n – 1.

B. 5^{n + 1}– n + 1.

C. 5ⁿ– n + 1.

D. 5ⁿ– n – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1}= 5^{n + 1}– (n + 1) = 5^{n + 1}– n – 1.

Bài 48 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u₁= 2,$u_n=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}+1\right)$với n ≥ 2. Số hạng u₄bằng:

A. u₄= 1.

B.$u_4=\frac{2}{3}$.

C.$u_4=\frac{14}{27}$.

D.$u_4=\frac{5}{9}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có$u_2=\frac{1}{3}\left(u_{2-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_1+1\right)=\frac{1}{3}\left(2+1\right)=1$;

$u_3=\frac{1}{3}\left(u_{3-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{1}{3}\left(1+1\right)=\frac{2}{3}$;

$u_4=\frac{1}{3}\left(u_{4-1}+1\right)=\frac{1}{3}\left(u_3+1\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+1\right)=\frac{5}{9}$.

Bài 49 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:

A.$u_n=\frac{2}{3^n}$.

B.$u_n=\frac{3}{n}$.

C. u_n= 2ⁿ.

D. u_n= (– 2)ⁿ.

Lời giải:

Trong các dãy số đã cho, ta thấy dãy số (u_n) với u_n= 2ⁿlà dãy số tăng.

Thật vậy, ta có u_{n + 1}= 2^{n + 1}= 2 . 2ⁿ.

Khi đó, u_{n + 1}– u_n= 2 . 2ⁿ– 2ⁿ= 2ⁿ> 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là u_{n + 1}> u_nvới mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n= 2ⁿlà dãy số tăng.

Bài 50 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:

A. 1 320.

B. 660.

C. 630.

D. 1 260.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁= 3 và công sai d = 3.

Khi đó, tổng của 20 số này là:

Bài 51 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A.$u_n=\frac{1}{5^n}$.

B.$u_n=1+\frac{1}{5n}$.

C.$u_n=\frac{1}{5^n}+1$.

D.$u_n=\frac{1}{n^2}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số (u_n) với$u_n=\frac{1}{5^n}$.

Ta có:$u_1=\frac{1}{5^1}=\frac{1}{5}$

$u_{n+1}=\frac{1}{5^{n+1}}=\frac{1}{5^n.5}=\frac{1}{5}.\frac{1}{5^n}=\frac{1}{5}{u}_n$không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với$u_n=\frac{1}{5^n}$là cấp số nhân với số hạng đầu$u_1=\frac{1}{5}$và công bội$q=\frac{1}{5}$.

Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm và u₂= 6, u₄= 24. Tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là:

A. 3(1 – 2¹⁰).

B. 3(2⁹– 1).

C. 3(2¹⁰– 1).

D. 3(1 – 2⁹).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử q là công bội của cấp số nhân (u_n) (điều kiện q ≠ 0).

Ta có: u₂= u₁q = 6; u₄= u₁q³= 24, suy ra$\frac{u_4}{u_2}=\frac{u_1{q}^3}{u_{1}q}=q^2=\frac{24}{6}=4$.

Do đó, q = ± 2.

Mà cấp số nhân (u_n) có tất cả các số hạng đều không âm nên q = 2.

Từ u₂= u₁q = 6, suy ra u₁=$\frac{6}{q}$= 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của (u_n) là

Bài 53 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Tổng 1 + 11 + 101 + 1001 + …… + 100…01 (12 số hạng) bằng:

A.$\frac{{10}^{11}+107}{9}$.

B.$\frac{{10}^{12}+98}{9}$.

C.$\frac{{10}^{12}+107}{9}$.

D.$\frac{{10}^{11}+98}{9}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có 1 + 11 + 101 + 1001 + …… + 100…01

= 1 + (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + … + (100…0 + 1)

= 12 + (10 + 100 + 1000 + … + 100…0)

= 12 + (10 + 10²+ 10³+ … + 10¹¹)

$=12+\frac{10\left(1-{10}^{11}\right)}{1-10}$

$=\frac{108}{9}+\frac{{10}^{12}-10}{9}$

$=\frac{{10}^{12}+98}{9}$.

Bài 54 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 6}= u_nvới mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Ta có;

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là: 0;$-\frac{\sqrt{3}}{2}$;$-\frac{\sqrt{3}}{2}$; 0;$\frac{\sqrt{3}}{2}$;$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Ta có

với mọi n ≥ 1.

c) Vì u_{n + 6}= u_nvới mọi n ≥ 1 nên

u₁+ u₂+ u₃+ … + u₂₇= 4 . (u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅+ u₆) + u₁+ u₂+ u₃

=$-\sqrt{3}$.

Bài 55 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) có tổng n số hạng đầu là$S_n=\frac{n\left(-1-5n\right)}{2}$với n ∈ ℕ^*.

a) Tính u₁, u₂và u₃.

b) Tìm công thức của số hạng tổng quát u_­n.

c) Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Lời giải:

a) Ta có:$u_1=S_1=\frac{1.\left(-1-5.1\right)}{2}=-3$.

Vì$u_1+u_2=S_2=\frac{2.\left(-1-5.2\right)}{2}=-11$nên u₂= S₂– u₁= – 11 – (– 3) = – 8.

Vì$S_2+u_3=S_3=\frac{3\left(-1-5.3\right)}{2}=-24$nên u₃= S₃– S₂= – 24 – (– 11) = – 13.

b) Ta có: u_n= S_n– S_{n – 1}=

$=\frac{-n-5n^2-\left(n-1\right)\left(-1-5n+5\right)}{2}$$=\frac{-n-5n^2-\left(-n-5n^2+5n+1+5n-5\right)}{2}$

$=\frac{-10n+4}{2}=2-5n$.

Vậy u_n= 2 – 5n.

c) Ta có:, với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là một cấp số cộng.

Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u₁= 1, u₂= 2, u_{n + 1}= 2u_n– u_{n – 1}+ 2 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt v_n= u_{n + 1}– u_nvới n ∈ ℕ^*. Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của v_n, u_ntính theo n.

Lời giải:

a) Ta có u₁= 1, u₂= 2, u₃= u_{2 + 1}= 2u₂– u_{2 – 1}+ 2 = 2 . 2 – 1 + 2 = 5,

u₄= u_{3 + 1}= 2u₃– u_{3 – 1}+ 2 = 2 . 5 – 2 + 2 = 10,

u₅= u_{4 + 1}= 2u₄– u_{4 – 1}+ 2 = 2 . 10 – 5 + 2 = 17.

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 5; 10; 17.

b) Từ công thức u_{n + 1}= 2u_n– u_{n – 1}+ 2 suy ra u_{n + 1}– u_n= u_n– u_{n – 1}+ 2.

Mà v_n= u_{n + 1}– u_nvà v_{n – 1}= u_{n – 1 + 1}– u_{n – 1}= u_n– u_{n – 1}.

Do đó, v_n= v_{n – 1}+ 2 với n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁= u₂– u₁= 1 và công sai d = 2.

c) Từ kết quả câu b, ta có: v_n= v₁+ (n – 1)d = 1 + (n – 1) . 2 = – 1 + 2n.

Lại có: v₁= u₂– u₁

v₂= u₃– u₂

…

v_{n – 2}= u_{n – 1}– u_{n – 2}

v_{n – 1}= u_n– u_{n – 1}

Cộng theo từng vế của n − 1 đẳng thức trên, ta có:

v₁+ v₂+ … + v_{n – 2}+ v_{n – 1}= – u₁+ u_n

$\iff \frac{\left(v_1+v_{n-1}\right)\left(n-1\right)}{2}=-1+u_n$

⇔ (n – 1)²= u_n– 1

⇔ u_n= 1 + (n – 1)².

Vậy u_n= 1 + (n – 1)²và v_n= – 1 + 2n với mọi n ∈ ℕ^*.

Bài 57 trang 57 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n), biết u₁= – 2,$u_{n+1}=\frac{n+1}{2n}{u}_n$với n ∈ ℕ^*. Đặt$v_n=\frac{u_n}{n}$với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của u_ntính theo n.

Lời giải:

a) Ta có$v_1=\frac{u_1}{1}=\frac{-2}{1}=-2$;

$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{n+1}=\left(\frac{n+1}{2n}{u}_n\right):\left(n+1\right)=\frac{1}{2}.\frac{u_n}{n}=\frac{1}{2}{v}_n$với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu v₁= – 2 và công bội$q=\frac{1}{2}$.

b) Từ kết quả của câu a) suy ra$v_n=v_1.q^{n-1}=\left(-2\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$.

Từ$v_n=\frac{u_n}{n}$, suy ra$u_n=n.v_n=-n.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}$với mọi n ≥ 2.

Bài 58 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1:Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy, trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25

a) Viết công thức tính giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm, 2 năm.

b) Sau 5 năm, giá trị của chiếc máy đó còn khoảng bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

a) Giá trị của chiếc máy đó sau 1 năm là:

1 200 . 0,75 = 900 (triệu đồng).

Giá trị của chiếc máy đó sau 2 năm là:

1 200 . 0,75 . 0, 75 = 1 200 . 0,75²= 675 (triệu đồng).

b) Sau 5 năm, giá trị chiếc máy đó còn là:

1 200 . 0,75⁵≈ 285 (triệu đồng).

Bài 59 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1:Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Lời giải:

a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là:

$1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9};1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^2=\frac{17}{81};1-{\left(\frac{8}{9}\right)}^3=\frac{217}{729}$.

b) Gọi S_nlà diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ n.

Ta có: S_n= 1 –${\left(\frac{8}{9}\right)}^n$.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU