Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Dãy số

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Dãy số – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u₁= 2 và$u_n=\frac{u_{n-1}+1}{2}$với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1;$\frac{3}{2}$.

B. 2;$\frac{3}{2};\frac{5}{2}$.

C. 2;$\frac{3}{2};\frac{5}{4}$.

D. 2;$\frac{3}{2}$; 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₁= 2;$u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$;$u_3=\frac{u_2+1}{2}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}$.

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết$u_n=\frac{2n^2-1}{n^2+2}$. Số hạng u₁₀là:

A.$\frac{19}{12}$.

B.$\frac{33}{34}$.

C.$\frac{199}{102}$.

D.$\frac{3}{4}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có$u_{10}=\frac{{2.10}^2-1}{{10}^2+2}=\frac{199}{102}$.

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết$u_n=\frac{n+1}{3n-2}$. Với$u_k=\frac{8}{19}$là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử$u_k=\frac{8}{19}$là một số hạng của dãy số (u_n).

Khi đó k ∈ ℕ^*và$u_k=\frac{k+1}{3k-2}=\frac{8}{19}$, suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u_n= 3ⁿ. Số hạng u_{n + 1}bằng:

A. 3ⁿ. 3.

B. 3ⁿ+ 3.

C. 3ⁿ+ 1.

D. 3(n + 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u_{n + 1}= 3^{n + 1}= 3ⁿ. 3¹= 3ⁿ. 3.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A.$u_n=\frac{3n-1}{n+1}$.

B. u_n= n³.

C.$u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$.

D.$u_n=\sqrt{n}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3^{n+1+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3^{n+2}}-\frac{1}{3^{n+1}}$

$=\frac{3^{n+1}-3^{n+2}}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}=\frac{{3.3}^n-{9.3}^n}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}=\frac{-{6.3}^n}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}<0$với mọi n ∈ ℕ^*.

Suy ra u_{n + 1}– u_n< 0, tức là u_{n + 1}< u_n.

Vậy dãy số (u_n) với$u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$là dãy số giảm.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u_n= cos n. Dãy số (u_n) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 ≤ u_n≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Khi đó dãy số (u­_n) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n), biết u_n= 3n – 1.

Lời giải:

Ta có u₁= 3 . 1 – 1 = 2; u₂= 3 . 2 – 1 = 5;

u₃= 3 . 3 – 1 = 8; u₄= 3. 4 – 1 = 11;

u₅= 3 . 5 – 1 = 14; u₆= 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ u₅+ u₆= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u­_n) là 57.

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết u₁= 2 và$u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}$với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁= 2;

$u_2=\sqrt{2+u_1^2}=\sqrt{2+2^2}=\sqrt{6}$;

$u_3=\sqrt{2+u_2^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$;

$u_4=\sqrt{2+u_3^2}=\sqrt{2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{10}$;

$u_5=\sqrt{2+u_4^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Ta thấy$2=\sqrt{2.\left(1+1\right)}$;$\sqrt{6}=\sqrt{2.\left(2+1\right)}$;$\sqrt{8}=\sqrt{2.\left(3+1\right)}$;

$\sqrt{10}=\sqrt{2.\left(4+1\right)}$;$\sqrt{12}=\sqrt{2.\left(5+1\right)}$.

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là$u_n=\sqrt{2\left(n+1\right)}$.

Bài 9 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số$y=\frac{2x-1}{2x^2+1}$có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi A_nlà giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (u_n), biết u_nlà tung độ của điểm A_n. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Với x = n, ta có$y_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$, suy ra$A_n\left(n;\frac{2n-1}{2n^2+1}\right)$.

Vì dãy số (u_n) có u_nlà tung độ của điểm A_n, do đó$u_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$.

Vẫy công thức của số hạng tổng quát là$u_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$.

Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n), biết

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 4}= u_nvới mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Bốn số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

Vậy u_{n + 4}= u_nvới mọi n ≥ 1.

c) Theo câu b) ta có u_{n + 4}= u_nvới mọi n ≥ 1.

Do đó, u₁= u₅= u₉, u₂= u₆= u₁₀, u₃= u₇= u₁₁, u₄= u₈= u₁₂.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

u₁+ u₂+ u₃+ u₄+ … + u₁₂= 3(u₁+ u₂+ u₃+ u₄)

=$3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=0$.

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) u_n= 2n + 3;

b) u_n= 3ⁿ– n;

c)$u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$;

d) u_n= sin n.

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1}= 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u_{n + 1}– u_n= (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1}> u_nvới mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n= 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có u_{n + 1}= 3^{n + 1}– (n + 1) = 3 . 3ⁿ– n – 1.

Xét u_{n + 1}– u­_n= (3 . 3ⁿ– n – 1) – (3ⁿ– n) = 3 . 3ⁿ– 3ⁿ– 1 = 2 . 3ⁿ– 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1}> u_nvới mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u­_n= 3ⁿ– n là dãy số tăng.

c) Ta có u_{n + 1}=$\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}$.

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}-\frac{\sqrt{n}}{2^n}=\frac{\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}}{{2.2}^n}$$=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{4n}}{{2.2}^n}$

$=\frac{n+1-4n}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}=\frac{-3n+1}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}<0$với mọi n ∈ ℕ^*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ> 0 và với mọi n ∈ ℕ^*).

Do vậy, u_{n + 1}< u_nvới mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với$u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$là dãy số giảm.

Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) biết$u_n=\frac{an+2}{n+1}$với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Lời giải:

Ta có$u_{n+1}=\frac{a\left(n+1\right)+2}{n+1+1}=\frac{an+a+2}{n+2}$.

Xét$u_{n+1}-u_n=\frac{an+a+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{\left(an+a+2\right)\left(n+1\right)-\left(an+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

$=\frac{a{n}^2+an+an+a+2n+2-a{n}^2-2an-2n-4}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$$=\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$.

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1}> u_nvới mọi n ∈ ℕ^*hay u_{n + 1}– u_n> 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là$\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$với mọi n ∈ ℕ^*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Nên$\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Chứng minh rằng:

a) Dãy số (u_n) với$u_n=\sqrt{n^2+1}$bị chặn dưới;

b) Dãy số (u­_n) với u_n= – n²– n bị chặn trên;

c) Dãy số (u_n) với$u_n=\frac{2n+1}{n+2}$bị chặn.

Lời giải:

a) Ta có n²≥ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó,$\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với$u_n=\sqrt{n^2+1}$bị chặn dưới.

b) Ta có – n²– n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n= – n²– n bị chặn trên.

c) Ta có$\frac{2n+1}{n+2}>0$với mọi n ∈ ℕ^*. Do đó, dãy số (u_n) với$u_n=\frac{2n+1}{n+2}$bị chặn dưới. (1)

Lại có$\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}<2$với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với$u_n=\frac{2n+1}{n+2}$bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u_n) với$u_n=\frac{2n+1}{n+2}$bị chặn.

Bài 14 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1:Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao nhưHình 1. Gọi u_nlà số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (u_n). Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng$\left(\frac{360}{n+6}\right)\begin{array}{c}°\end{array}$. Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là$u_n=\frac{1}{2}.\frac{360}{n+6}.n=\frac{180n}{n+6}$.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU