Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 3: Cấp số nhân

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 3: Cấp số nhân – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

Bài 30 trang 54 SBT Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. 128; – 64; 32; – 16; 8.

B.$\sqrt{2};2;2\sqrt{2};4;8$.

C. 5; 6; 7; 8; 9.

D. 15; 5; 1;$\frac{1}{5};\frac{1}{25}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+ Đáp án A:$\frac{-64}{128}=\frac{32}{-64}=\frac{-16}{32}=\frac{8}{-16}=\frac{-1}{2}$, do đó dãy số 128; – 64; 32; – 16; 8 lập thành một cấp số nhân có công bội$\frac{-1}{2}$.

+ Đáp án B:$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne 2=\frac{8}{4}$, do đó dãy số$\sqrt{2};2;2\sqrt{2};4;8$không phải cấp số nhân.

+ Đáp án C:$\frac{6}{5}\ne \frac{7}{6}$, do đó dãy số 5; 6; 7; 8; 9 không phải cấp số nhân.

+ Đáp án D:$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\ne \frac{1}{5}$, do đó dãy số 15; 5; 1;$\frac{1}{5};\frac{1}{25}$không phải cấp số nhân.

Bài 31 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số (u_n) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u_n= 5ⁿ.

B. u_n= 1 + 5n.

C. u_n= 5ⁿ+ 1.

D. u_n= 5 + n².

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n= 5ⁿlà một cấp số nhân.

Thật vậy, ta thấy u_n≠ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Ta có: u₁= 5¹= 5;$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=\frac{5^n}{}\frac{5^n}{5}=5$không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n= 5ⁿlà một cấp số nhân với số hạng đầu u₁= 5 và công bội q = 5.

Bài 32 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁= 2 và công bội q = – 2. Giá trị u₅là:

A. – 32.

B. – 16.

C. – 6.

D. 32.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₅= u₁. q^{5 – 1}= u₁. q⁴= 2 . (– 2)⁴= 32.

Bài 33 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Viết bốn số hạng xen giữa các số 1 và – 243 để được một cấp số nhân có 6 số hạng. Bốn số hạng đó lần lượt là:

A. – 3; – 9; – 27; – 81.

B. 3; – 9; 27; – 81.

C. 3; 9; 27; 81.

D. – 3; 9; – 27; 81.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁= 1, công bội q, bốn số hạng xen giữa 1 và – 243 lần lượt là u₂, u₃, u₄, u₅; và số hạng thứ 6 là u₆= – 243.

Ta có u₆= u₁. q⁵= q⁵= – 243 = (– 3)⁵, suy ra q = – 3.

Do đó, bốn số hạng cần tìm lần lượt là: u₂= u₁. q = 1 . (– 3) = – 3;

u₃= u₂. q = (– 3) . (– 3) = 9;

u₄= u₃. q = 9 . (– 3) = – 27;

u₅= u₄. q = (– 27) . (– 3) = 81.

Bài 34 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cấp số nhân (u_n), biết u₂. u₆= 64. Giá trị của u₃. u₅là

A. – 8.

B. – 64.

C. 64.

D. 8.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₂. u₆= (u₁. q) . (u₁. q⁵) =$u_1^2.q^6$.

Và$u_3.u_5=\left(u_1.q^2\right).\left(u_1.q^4\right)=u_1^2.q^6$.

Do đó, u₃. u₅= u₂. u₆= 64.

Bài 35 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho (u_n) là cấp số nhân có$u_1=\frac{1}{3}$; u₈= 729.

Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

A.$\frac{1-3^8}{2}$.

B.$\frac{3^8-1}{6}$.

C.$\frac{3^8-1}{2}$.

D.$\frac{1-3^8}{6}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử công bội của cấp số nhân là q.

Khi đó ta có u₈= u₁. q⁷=$\frac{q^7}{3}$. Mà u₈= 729 nên$\frac{q^7}{3}=729\Rightarrow q^7=2187$.

Vì 2 187 = 3⁷, suy ra q = 3.

Vậy tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân đó là:

$S_8=\frac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}.\left(1-3^8\right)}{1-3}=\frac{3^8-1}{6}$.

Bài 36 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hình vuông C₁có cạnh bằng 1. Gọi C₂là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁; C₃là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₂; … Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông C₁; C₂; C₃; …; C_n; … Diện tích của hình vuông C₂₀₂₃là:

A.$\frac{1}{2^{2022}}$.

B.$\frac{1}{2^{2023}}$.

C.$\frac{1}{2^{1011}}$.

D.$\frac{1}{2^{1012}}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Hình vuông C₁có diện tích S₁= 1.

Hình vuông C₂là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông C₁, do đó hình vuông C₂có diện tích S₂=$\frac{1}{2}{S}_1=\frac{1}{2}$.

Tương tự, hình vuông C₃có diện tích$S_3=\frac{1}{2}{S}_2=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$.

Cứ tiếp tục như thế ta tính được diện tích hình vuông C₂₀₂₃là$S_{2023}=\frac{1}{2^{2022}}$.

Bài 37 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho ba số$\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Do ba số$\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\iff \frac{b-a-2b}{b\left(b-a\right)}=\frac{2b-\left(b-c\right)}{b\left(b-c\right)}$

$\iff \frac{-a-b}{b-a}=\frac{b+c}{b-c}$(do b ≠ 0)

$\Rightarrow \left(-a-b\right)\left(b-c\right)=\left(b-a\right)\left(b+c\right)$

⇔ – ab + ac – b²+ bc = b²+ bc – ab – ac

⇔ ac – b²= b²– ac

⇔ 2b²= 2ac

⇔ b²= ac

$\iff \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$.

Suy ra ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Bài 38 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm x để ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Ba số 2x – 3; x; 2x + 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi

$\frac{x}{2x-3}=\frac{2x+3}{x}$

⇒ x²= (2x – 3)(2x + 3)

⇔ x²= 4x²– 9

⇔ 3x²= 9

⇔ x²= 3

$\iff x=\pm \sqrt{3}$.

Vậy$x=\pm \sqrt{3}$thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 39 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:

Lời giải:

a) Ta có u₂+ u₄=$\frac{u_3}{q}+u_{3}q=\frac{16}{q}+16q$.

Mà u₂+ u₄= 40 nên ⇒ 16 + 16q²= 40q

⇔ 2q²– 5q + 2 = 0.

Lại có u₃= u₁q²= 16, suy ra u₁=$\frac{16}{q^2}$.

Với thì$u_1=\frac{16}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=64$.

Với q = 2 thì$u_1=\frac{16}{2^2}=4$.

Vậy u₁= 64, q =$\frac{1}{2}$hoặc u₁= 4, q = 2.

b) Ta có u₁+ u₆= u₁+ u₁. q⁵= 244, suy ra u₁. q⁵= 244 – u₁.

Lại có u₂. u₅= (u₁. q) . (u₁. q⁴) = u₁. (u₁. q⁵) = u₁. (244 – u₁) = 244u₁– u₁².

Suy ra 244u₁– u₁²= 243.

Với u₁= 1 thì q⁵= 244 – 1 = 243 = 3⁵, suy ra q = 3.

Với u₁= 243 thì 243q⁵= 244 – 243 ⇔ 243q⁵= 1$\iff q^5=\frac{1}{243}\iff q^5={\left(\frac{1}{3}\right)}^5$$\iff q=\frac{1}{3}$.

Vậy u₁= 1, q = 3 hoặc u₁= 243,$q=\frac{1}{3}$.

c) Ta có

Lấy (2) chia vế theo vế cho 1, ta được q³= 27, suy ra q = 3.

Ta có u₁(1 + 3 + 3²) = 13 ⇔ 13u₁= 13 ⇔ u₁= 1.

Vậy u₁= 1, q = 3.

Bài 40 trang 55 SBT Toán 11 Tập 1:Cho (u_n) là cấp số nhân có u₁+ u₅= 51 và u₂+ u₆= 102.

a) Tính u₁₀.

b) Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c) Số 9 216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Lời giải:

a) Xét số hạng đầu u₁và công bội q. Ta có:

Lấy (2) chia vế theo vế (1) ta được q = 2.

Suy ra u₁. (1 + 2⁴) = 51 ⇔ 17u₁= 51 ⇔ u₁= 3.

Do đó, u₁₀= u₁. q⁹= 3 . 2⁹= 1 536.

b) Giả sử số 192 là số hạng thứ k của cấp số nhân (u_n).

Ta có u_k= u₁. q^{k – 1}= 3 . 2^{k – 1}= 3 . 2^k.$\frac{1}{2}$= 192, suy ra 2^k= 128 = 2⁷, suy ra k = 7.

Vậy số 192 là số hạng thứ 7.

c) Giả sử 9 216 là số hạng thứ n của cấp số nhân (u_n).

Ta có 3 . 2^{n – 1}= 9 216 ⇔ 2^{n – 1}= 3 072.

Do 3 072 chia hết cho 3 mà với n là số nguyên dương thì 2^{n – 1}không chia hết cho 3 nên không tồn tại n thoả mãn.

Vậy số 9 216 không là số hạng nào của (u_n).

Bài 41 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 2, số hạng thứ bảy gấp 32 lần số hạng thứ hai. Tìm các số hạng của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân đó là (u_n) với n = 7.

Theo bài ra ta có: u₄= 2 và u₇= 32u₂.

Ta có u₇= u₁. q⁶và u₂= u₁. q, do đó u₁. q⁶= 32u₁. q, suy ra q = 2.

Lại có u₄= u₁. q³= u₁. 2³= 8u₁, suy ra 8u₁= 2 ⇔ u₁=$\frac{1}{4}$.

Do vậy, u₂=$\frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}$; u₃=$\frac{1}{2}.2=1$; u₅= 2 . 2 = 4; u₆= 4 . 2 = 8; u₇= 8 . 2 = 16.

Vậy cấp số nhân cần tìm là:$\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4;8;16$.

Bài 42 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

Lời giải:

Giả sử công bội của cấp số nhân là q, công sai của cấp số cộng là d, khi đó gọi ba số cần tìm là a, aq, aq². (với a, p ≠ 0)

Theo bài ra ta có: a + aq + aq²= 78 (*); aq = a + 2d; aq²= a + 8d.

Từ aq = a + 2d, suy ra aq – a = 2d ⇔ a(q – 1) = 2d. (1)

Từ aq²= a + 8d, suy ra aq²– a = 8d ⇔ a(q²– 1) = 8d ⇔ a(q – 1)(q + 1) = 8d. (2)

Với q = 1 thì a = aq = aq², mà ba số cần tìm là phân biệt nên q = 1 không thỏa mãn.

Do vậy, q ≠ 1 ⇒ q – 1 ≠ 0, do đó a(q – 1) ≠ 0. Chia vế theo vế của (2) cho (1):

Ta được: q + 1 = 4 ⇔ q = 3.

Thay q = 3 vào (*): a + 3a + 9a = 78 ⇔ 13a = 78 ⇔ a = 6.

Suy ra ba số cần tìm là 6; 6 . 3 = 18; 18 . 3 = 54.

Vậy ba số cần tìm là: 6; 18; 54.

Bài 43 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁= – 1, q = 3.

a) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó.

b) Giả sử tổng m số hạng đầu của (u_n) bằng – 364. Tìm m.

c) Tính tổng$S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$.

Lời giải:

a) Ta có:$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right).\left(1-3^{10}\right)}{1-3}=-29524$.

b) Ta có:$S_m=\frac{u_1\left(1-q^m\right)}{1-q}=\frac{\left(-1\right)\left(1-3^m\right)}{1-3}=\frac{1-3^m}{2}$.

Mà S_m= – 364, do đó$\frac{1-3^m}{2}=-364$⇔ 1 – 3^m= – 728

⇔ 3^m= 729 ⇔ 3^m= 3⁶⇔ m = 6.

Vậy m = 6.

c) Dãy$\frac{1}{u_1};\frac{1}{u_2};\frac{1}{u_3};\frac{1}{u_4};\frac{1}{u_5}$là cấp số nhân với số hạng đầu là${u^{‘}}_1=\frac{1}{u_1}=\frac{1}{-1}=-1$và công bội là$q^{‘}=\frac{1}{q}=\frac{1}{3}$.

Suy ra$S=\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+\frac{1}{u_4}+\frac{1}{u_5}$ .

Bài 44 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u­_n) biết u₁= 1,$u_n=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1$với n ∈ ℕ^*, n ≥ 2. Đặt$v_n=u_n-\frac{3}{2}$với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức số hạng tổng quát của (v_n), (u_n).

c) Tính tổng S = u₁+ u₂+ u₃+ … + u₁₀.

Lời giải:

a) Ta có$v_1=u_1-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$

$v_n=u_n-\frac{3}{2}$$=\frac{1}{3}{u}_{n-1}+1-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}{u}_{n-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(u_{n-1}-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{3}{v}_{n-1}$với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số nhân với số hạng đầu$v_1=-\frac{1}{2}$và công bội$q=\frac{1}{3}$.

b) Ta có:$v_n=v_1.q^{n-1}=-\frac{1}{2}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{-1}{{2.3}^{n-1}}$.

Từ$v_n=u_n-\frac{3}{2}$, suy ra$u_n=v_n+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{{3.3}^{n-1}-1}{{2.3}^{n-1}}=\frac{3^n-1}{{2.3}^{n-1}}$.

c) Ta có S = u₁+ u₂+ u₃+ … + u₁₀

_{$=\left(v_1+\frac{3}{2}\right)+\left(v_2+\frac{3}{2}\right)+\left(v_3+\frac{3}{2}\right)+\mathrm{\dots }+\left(v_{10}+\frac{3}{2}\right)$}

= (v₁+ v₂+ v₃+ … + v₁₀) +$\frac{3}{2}.10$

Bài 45 trang 56 SBT Toán 11 Tập 1:Anh Dũng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với phương án trả lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Dũng là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Dũng được tăng lên 10

Lời giải:

Ta có tiền lương năm thứ nhất của anh Dũng là: 120 triệu đồng.

Tiền lương năm thứ hai của anh Dũng là:

120 + 120 . 10

Tiền lương năm thứ ba của anh Dũng là:

120 . 1,1 + 120 . 1,1 . 10

Cứ tiếp tục như vậy, ta được tiền lương năm thứ 10 của anh Dũng là 120 . 1,1⁹(triệu đồng).

Do vậy, tiền lương mỗi năm của anh Dũng nhận được trong 10 năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁= 120 và công bội q = 1,1.

Khi đó tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là:

Vậy tổng số tiền lương anh Dũng lĩnh được trong 10 năm đầu đi làm là 1 912 triệu đồng.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU