Giải Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Giới hạn của hàm số

GIẢI CHI TIẾT Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Giới hạn của hàm số – Sách SGK CÁNH DIỀU

================

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1:Giả sử$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$và$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$(L, M ∈ ℝ). Phát biểu nào sau đây làsai?

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Với$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$và$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L}{M}$(L, M ∈ ℝ) thì (nếu M ≠ 0).

Do vậy đáp án D sai vì thiếu điều kiện M ≠ 0.

Bài 13 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀< x_n< b và x_n→ x₀, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n→ x₀, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀< x_n< b và x_n→ L, ta có f(x_n) → x₀thì$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n< x₀và x_n→ x₀, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x­₀< x_n< b và x_n→ x₀, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

Bài 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1:Với c, k là các hằng số và k nguyên dương thì

A.$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$.

B.$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=+\infty$.

C.$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=-\infty$.

D.$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=+\infty$hoặc$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=-\infty$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$.

Bài 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1:Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$thì$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

B. Nếu$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$thì L ≥ 0.

c. Nếu f(x) ≥ 0 và$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$thì L ≥ 0 và$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

D. Nếu$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$thì L ≥ 0 và$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo lí thuyết ta có: Nếu f(x) ≥ 0 và$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$thì L ≥ 0 và$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

Bài 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

B. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n< a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

C. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

D. Nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a và x_n→ L, ta có f(x_n) →+∞ thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta có: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; + ∞), nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n> a và x_n→ +∞, ta có f(x_n) → L thì$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

Bài 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1:Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng:

a)$\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$.

b)$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=-4$.

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = x³. Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn limx_n= – 2.

Ta có limf(x_n) =$\lim x_n^3={\left(-2\right)}^3=-8$.

Vậy$\underset{x\to -2}{\lim }{x}^3=-8$.

b) Xét hàm số$g\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x+2}$.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n≠ – 2 và lim x_n= – 2.

Ta có$\lim g\left(x_n\right)=\lim \frac{x_n^2-4}{x_n+2}=\lim \frac{\left(x_n-2\right)\left(x_n+2\right)}{x_n+2}=\lim \left(x_n-2\right)=-4$.

Vậy$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=-4$.

Bài 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1:Cho$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=4$, chứng minh rằng:

a)$\underset{x\to 3}{\lim }3f\left(x\right)=12$;

b)$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{4}=1$;

c)$\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=2$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to 3}{\lim }3f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }3.\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=3.4=12$.

b)$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{4}=\frac{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 3}{\lim }4}=\frac{4}{4}=1$.

c)$\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)}=\sqrt{4}=2$.

Bài 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Quan sát đồ thị hàm số ở Hình 2 và cho biết các giới hạn sau:$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Bài 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$; b)$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$;

c)$\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$; d)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}$;

e)$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}$; g)$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2+3x+1\right)$$=\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x^2\right)+\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1$= – 4 – 3 + 1 = – 6.

b)$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{-4x+1}{x^2-x+3}$$=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x+1\right)}{\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+3\right)}$$=\frac{\underset{x\to -1}{\lim }\left(-4x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1}{\underset{x\to -1}{\lim }{x}^2-\underset{x\to -1}{\lim }x+\underset{x\to -1}{\lim }3}=\frac{4+1}{1-\left(-1\right)+3}=\frac{5}{5}=1$.

c) Vì$\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2+5x+4\right)$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(3x^2\right)+\underset{x\to 2}{\lim }\left(5x\right)+\underset{x\to 2}{\lim }4=$${3.2}^2+5.2+4=26$.

Do đó,$\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x^2+5x+4}$$=\sqrt{26}$.

d) Vì$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3+\frac{4}{x}\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-3\right)+\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x}=-3+0=-3$

và.

Do đó,$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3+\frac{4}{x}}{2x^2+3}=0$.

e) Vì$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(-3\right)=-3<0$;$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$và x – 2 > 0 với mọi x > 2.

Do đó,$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-3}{x-2}=-\infty$.

g) Vì$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }5=5>0$;$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\left(x+2\right)=0$và x + 2 > 0 với mọi x > – 2.

Do đó,$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{5}{x+2}=+\infty$.

Bài 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}$; b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$;

c)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$; d)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+3}}{x+1}$;

e)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$; g)$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5x+2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{-5}{3}$.

b)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{-2}{x}+\frac{3}{x^2}}{3+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{0}{3}=0$.

c)

d)

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left(-x\right).\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{9+\frac{3}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{9}}{1}=-3$.

e)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-8x+6}{x^2-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-6\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-6}{x+1}=-2$.

g)$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{-x^2+2x+15}{x^2+4x+3}$$=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{\left(5-x\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{5-x}{x+1}=-4$.

Bài 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Cho$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$. Tính:

a)$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$;

b)$\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$.

Lời giải:

Điều này mâu thuẫn với giả thiết$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-4}{x-1}=2$.

b) Ta có$\underset{x\to 1}{\lim }3f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1}{\lim }3.\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=3.4=12$.

Bài 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số f(x) thoả mãn$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2022$. Tính$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$.

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{x}\right)}$

$=\frac{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}}=\frac{2022}{1+0}=2022$.

Vậy$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf\left(x\right)}{x+1}=2022$.

Bài 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Cho số thực a và hàm số (x) thoả mãn$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$. Chứng minh rằng:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Ta có$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}$$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{1-\frac{3}{f\left(x\right)}}{2+\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }\left(1-\frac{3}{f\left(x\right)}\right)}{\underset{x\to a}{\lim }\left(2+\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}$

$=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\underset{x\to a}{\lim }\frac{3}{f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{f\left(x\right)}}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }1-\frac{\underset{x\to a}{\lim }3}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}{\underset{x\to a}{\lim }2+\frac{\underset{x\to a}{\lim }1}{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}}$$=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$.

Vậy$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-3}{2f\left(x\right)+1}=\frac{1}{2}$.

Bài 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1:Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t²– t³(người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t₁, t₂là$V_{tb}=\frac{g\left(t_2\right)-g\left(t_1\right)}{t_2-t_1}$. Tính$\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

Lời giải:

Ta có g(10) = 45 . 10²– 10³.

Khi đó$\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45t^2-t^3-{45.10}^2-{10}^3}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(45t^2-{45.10}^2\right)-\left(t^3-{10}^3\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{45\left(t-10\right)\left(t+10\right)-\left(t-10\right)\left(t^2+10t+100\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\frac{\left(t-10\right)\left(45\left(t+10\right)-\left(t^2+10t+100\right)\right)}{t-10}$

$=\underset{t\to 10}{\lim }\left(-t^2+35t+350\right)=600$.

Vậy$\underset{t\to 10}{\lim }\frac{g\left(t\right)-g\left(10\right)}{t-10}$= 600.

Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 ngày là 600 người/ngày.

=============
THUỘC: GIẢI SÁCH BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 – SGK CÁNH DIỀU