Giải Bài tập cuối chuyên đề 2 – Chuyên đề Toán 10 (Chân trời)
===========
Giải bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
a) \({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}\)
b) \(1.4 + 2.7 + 3.10 + … + n(3n + 1) = n{(n + 1)^2}\)
c) \(\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + … + \frac{1}{{(2n – 1)(2n + 1)}} = \frac{n}{{2n + 1}}\)
Quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({1^3} = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {k^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + … + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3}\\ = {(k + 1)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{(k + 1)}^2}({k^2} + 4k + 4)}}{4}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1.4 = 1.{(1 + 1)^2}\)
Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1) = k{(k + 1)^2}\)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1){(k + 2)^2}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\(\begin{array}{l}1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)\\ = k{(k + 1)^2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left[ {k(k + 1) + 3k + 4} \right]\\ = (k + 1)({k^2} + 4k + 4) = (k + 1){(k + 2)^2}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{3}\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giải sử đẳng thức đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}\)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + … + \frac{1}{{(2k – 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \({3^n} – 1 – 2n\) chia hết cho 4.
b) \({7^n} – {4^n} – {3^n}\) chia hết cho 12.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({3^1} – 1 – 2 = 0 \vdots 4\)
Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)
Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({3^k} – 1 – 2k\) chia hết cho 4
Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({3^{k + 1}} – 1 – 2(k + 1)\) chia hết cho 4
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\({3^{k + 1}} – 1 – 2(k + 1) = {3^{k + 1}} – 3 – 2k = 3.\left( {{3^k} – 1 – 2k} \right) + 4k\) chia hết cho 4.
Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({7^1} – {4^1} – {3^1} = 0 \vdots 12\)
Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)
Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({7^k} – {4^k} – {3^k}\) chia hết cho 12
Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({7^{k + 1}} – {4^{k + 1}} – {3^{k + 1}}\) chia hết cho 12
Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý \(k \ge 1\), ta có
\({7^{k + 1}} – {4^{k + 1}} – {3^{k + 1}} = {7.7^k} – {4.4^k} – {3.3^k} = 7\left( {{7^k} – {4^k} – {3^k}} \right) + {3.4^k} + {4.3^k}\) chia hết cho 12.
Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Giải bài 3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Chứng minh rằng \({8^n} > {n^3}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({8^1} > {1^3}\)
Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \({8^k} > {k^3}\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \({8^{k + 1}} > {(k + 1)^3}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\({8^{k + 1}} > 8{k^3} = {k^3} + 3{k^3} + 3{k^3} + {k^3} > {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 = {(k + 1)^3}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Giải bài 4 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Chứng minh rằng bất đẳng thức \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 + 1}}{2}\)
Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{k} \le \frac{{k + 1}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 2}}{2}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\) ta có
\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 2}}{2}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Giải bài 5 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng lước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện bước 3, 4, …
Kí hiệu \({a_n}\) là lượng nước có tron bình sau bước n \((n \in \mathbb{N}*)\)
a) Tính \({a_1},{a_2},{a_3}\). Từ đó dự đoán công thức tính \({a_n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{a_1} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}};\\{a_2} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4} = \frac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}};\\{a_3} = \frac{{\frac{5}{4} + 1}}{2} = \frac{9}{8} = \frac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}\).
Từ đó ta dự đoán \({a_n} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
b)
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({a_1} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}\)
Như vậy công thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \({a_k} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \({a_{k + 1}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
\({a_{k + 1}} = \frac{{{a_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}\)
Vậy công thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Giải bài 6 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức sau:
a) \({(1 – 3x)^8}\)
b) \({\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^7}\)
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải chi tiết
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(1 – 3x)^8} = C_8^0 + C_9^1\left( { – 3x} \right) + … + C_8^k{\left( { – 3x} \right)^k} + … + C_8^8{\left( { – 3x} \right)^8}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(9 – k = 2\) hay \(k = 7\). Do đó hệ số của \({x^2}\) là
\(C_9^7{3^2}{2^7} = 36.9.128 = 41472\)
b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(3x + 2)^9} = C_9^0{\left( {3x} \right)^9} + C_9^1{\left( {3x} \right)^8}2 + … + C_9^k{\left( {3x} \right)^{9 – k}}{2^k} + … + C_9^8\left( {3x} \right){2^8} + C_9^9{2^9}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(9 – k = 2\) hay \(k = 7\). Do đó hệ số của \({x^2}\) là
\(C_9^7{3^2}{2^7} = 36.9.128 = 41472\)
Giải bài 7 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của: \((2x + 3){(x – 2)^6}\)
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải chi tiết
Cách 1: Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x – 2)^6} = {x^6} + 6{x^5}\left( { – 2} \right) + 15{x^4}{\left( { – 2} \right)^2} + 20{x^3}{\left( { – 2} \right)^3} + 15{x^2}{\left( { – 2} \right)^4} + 6x{\left( { – 2} \right)^5} + {\left( { – 2} \right)^6}\\ = {x^6} – 12{x^5} + 60{x^4} – 160{x^3} + 240{x^2} – 192x + 64\end{array}\)
\((2x + 3){(x – 2)^6} = (2x + 3)\left( {{x^6} – 12{x^5} + 60{x^4} – 160{x^3} + 240{x^2} – 192x + 64} \right)\)
Do đó hệ số của \({x^5}\) là: \(2.60 + 3.( – 12) = 84\)
Cách 2: Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(x – 2)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { – 2} \right) + … + C_6^k{x^{6 – k}}{\left( { – 2} \right)^k} + … + C_6^6{\left( { – 2} \right)^6}\)
\(\begin{array}{l}(2x + 3){(x – 2)^6} = 2C_6^0{x^7} + 2C_6^1{x^6}\left( { – 2} \right) + … + 2C_6^k{x^{7 – k}}{\left( { – 2} \right)^k} + … + 2C_6^6x{\left( { – 2} \right)^6}\\ + 3\left[ {C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { – 2} \right) + … + C_6^k{x^{6 – k}}{{\left( { – 2} \right)}^k} + … + C_6^6{{\left( { – 2} \right)}^6}} \right]\\ = 2C_6^0{x^7} + \left[ {2\left( { – 2} \right)C_6^1 + 3C_6^0} \right]{x^6} + … + \left[ {2{{\left( { – 2} \right)}^k}C_6^k + 3{{\left( { – 2} \right)}^{k – 1}}C_6^{k – 1}} \right]{x^{7 – k}} + \left[ {2{{\left( { – 2} \right)}^6}C_6^6 + 3C_6^5{{\left( { – 2} \right)}^5}} \right]x + 3C_6^6{\left( { – 2} \right)^6}.\end{array}\)
Số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(7 – k = 5\)hay \(k = 2\). Do đó hệ số của \({x^5}\) là
\(2{\left( { – 2} \right)^2}C_6^2 + 3{\left( { – 2} \right)^1}C_6^1 = 84\)
Giải bài 8 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trongg khai triển của \({(1 + 2x)^6}\), các số hạng được viết theo thứ tự số mũ x tăng dần.
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của \(1,{02^6}\)
Lời giải chi tiết
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(1 + 2x)^6} = 1 + 6\left( {2x} \right) + 15{\left( {2x} \right)^2} + 20{\left( {2x} \right)^3} + 15{\left( {2x} \right)^4} + 6x{\left( {2x} \right)^5} + {\left( {2x} \right)^6}\\ = 1 + 12x + 60{x^2} + 160{x^3} + 240{x^4} + 192{x^5} + 64{x^6}\end{array}\)
3 số hạng đầu tiên trong khai triển là: \(1;12x;60{x^2}.\)
b) Ta có: \(1,{02^6} = {\left( {1 + 2.0,01} \right)^6} \approx 1 + 12.0,01 + 60.0,{01^2} = 1,126\)
Giải bài 9 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Trong khai triển của biểu thức \({(3x – 4)^{15}}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
Giả sử khai triển của biểu thức \({(3x – 4)^{15}}\) thành đa thức là:
\({(3x – 4)^{15}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + … + {a_{15}}{x^{15}}\)
Thay \(x = 1\) vào đẳng thức trên ta được: \({a_0} + {a_1} + {a_2} + … + {a_{15}} = {(3.1 – 4)^{15}} = – 1\)
Giải bài 10 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau đunggs với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \(1 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + … + {2^{n – 1}}C_n^{n – 1} + {2^n}C_n^n = {3^n}\)
b) \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + … + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + … + C_{2n}^{2n – 1}\)
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + … + C_n^n{x^n}\)
Thay \(x = 2\) ta được:
\({3^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + C_n^2{2^2} + … + C_n^n{2^n}\)
Hay \(1 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + … + {2^{n – 1}}C_n^{n – 1} + {2^n}C_n^n = {3^n}\)
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(1 + x)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + … + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\)
Thay \(x = – 1\) ta được:
\({(1 + \left( { – 1} \right))^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.\left( { – 1} \right) + C_{2n}^2{\left( { – 1} \right)^2} + … + C_{2n}^{2n}{\left( { – 1} \right)^{2n}}\)
Hay \(C_{2n}^0 – C_{2n}^1 + C_{2n}^2 – … – C_{2n}^{2n – 1} + C_{2n}^{2n} = 0\)
Hay \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + … + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + … + C_{2n}^{2n – 1}\)