Giải bài tập Bài tập cuối chương 5 – Toán 10 Cánh diều
———-
Giải bài tập Bài 1 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
a) Có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh theo một hàng dọc?
A.\({20^{20}}\) B.\(20!\) C. 20 D.1
b) Số cách chọn ra 3 học sinh từ một lớp có 40 học sinh là:
A. \(A_{40}^3\) B. \({40^3}\) C. \({3^{40}}\) D.\(C_{40}^3\)
Phương pháp giải
a) Xếp 20 học sinh theo một hàng dọc \( \Rightarrow \) Sử dụng công thức hoán vị
b) Chọn 3 học sinh từ một lớp có 40 học sinh \( \Rightarrow \) Sử dụng công thức tổ hợp
Hướng dẫn giải
a) Số cách xếp 20 học sinh theo một hàng dọc là: \(20!\) (cách xếp). Vậy ta chọn đáp án B.
b) Số cách chọn ra 3 học sinh từ một lớp có 40 học sinh là: \(C_{40}^3\) (cách chọn). Vậy ta chọn đáp án D.
Giải bài tập Bài 2 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Bạn Dương có 2 chiếc quần gồm: một quần màu xanh và một quần màu đen; 3 chiếc áo gồm: một áo màu nâu, một áo màu xanh và một áo màu vàng, 2 đôi giày gồm: một đôi giày màu đen và một đôi giày màu đỏ. Bạn Dương muốn chọn một bộ quần áo và một đôi giày để đi tham quan. Bằng cách vẽ sơ đồ hình cây, tính số cách chọn một bộ quần áo và một đôi giày cho bạn Dương.
Phương pháp giải
Vẽ sơ đồ cây bằng cách chọn quần trước, sau đó chọn áo và cuối cùng là chọn giày.Sau đó đếm số cách chọn.
Hướng dẫn giải
Kết luận: Từ sơ đồ cây, ta thấy bạn Dương có 12 cách chọn một bộ quần áo và một đôi giày.
Giải bài tập Bài 3 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng song song a và b. Cho 3 điểm phân biệt trên đường thẳng a và 4 điểm phân biệt trên đường thẳng b. Có bao nhiêu tam giác có cả 3 đỉnh là 3 điểm trong 7 điểm nói trên?
Phương pháp giải
Một tam giác được tạo nên bởi 3 điểm không thẳng hàng, do đó để có một tam giác ta sẽ chọn ra 3 điểm không thằng hàng trong 7 điểm đã cho.
Cách 1:
Lấy 2 điểm thuộc a, 1 điểm thuộc b và ngược lại
Cách 2:
Tính số cách chọn 3 điểm bất kì trong 7 điểm – số cách chọn 3 điểm thẳng hàng thuộc a và b.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
TH1: 2 điểm thuộc a và 1 điểm thuộc b
Số cách chọn 2 điểm thuộc đường thẳng a là \(C_3^2\) (cách chọn)
Số cách chọn 1 điểm thuộc đường thẳng b là: \(C_4^1\) (cách chọn)
=> Số tam giác tạo thành là: \(C_3^2 . C_4^1 = 12\)
TH2: 2 điểm thuộc b và 1 điểm thuộc a
Số cách chọn 2 điểm thuộc đường thẳng b là \(C_4^2\) (cách chọn)
Số cách chọn 1 điểm thuộc đường thẳng a là: \(C_3^1\) (cách chọn)
=> Số tam giác tạo thành là: \(C_4^2 + C_3^1 = 18\)
Vậy có tất cả 12 + 18 = 30 tam giác.
Cách 2:
Số cách chọn 3 điểm thuộc đường thẳng a là: \(C_3^3\) (cách chọn)
Số cách chọn 3 điểm thuộc đường thẳng b là: \(C_4^3\) (cách chọn)
Số cách chọn 3 điểm bất kì trong 7 điểm đã cho là: \(C_7^3\) (cách chọn)
Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng trong 7 điểm đã cho là: \(C_7^3 – C_4^3 – C_3^3 = 30\) (cách chọn)
Vậy số tam giác có thể có là : 30 (tam giác)
Giải bài tập Bài 4 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Trong mặt phẳng, cho 6 đường thẳng song song và 8 đường thẳng song song cùng vuông góc với 6 đường thẳng đó. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành?
Phương pháp giải
Bước 1: Tính số cách chọn 2 đường thằng song song trong 6 đường thằng song song
Bước 2: Tính số cách chọn 2 đường thằng song song trong 8 đường thằng song song cùng vuông góc với 6 đường thằng song song ban đầu
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải
Số cách chọn 2 đường thằng song song trong 6 đường thằng song song là: \(C_6^2\) (cách chọn)
Số cách chọn 2 đường thằng song song trong 8 đường thằng song song cùng vuông góc với 6 đường thằng song song ban đầu là: \(C_8^2\) (cách chọn)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số hình chữ nhật có thể tạo thành là: \(C_8^2.C_6^2 = 420\) ( hình chữ nhật)
Giải bài tập Bài 5 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {4y – 1} \right)^4}\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^5}\)
Phương pháp giải
a) Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 4\): \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
b) Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\):\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {4y – 1} \right)^4} = {\left[ {4y + \left( { – 1} \right)} \right]^4} = 256{y^4} – 256{y^3} + 96{y^2} – 16y + 1\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^5} = 243{x^5} + 1620{x^4}y + 4320{x^3}{y^2} + 5760{x^2}{y^3} + 3840x{y^4} + 1024{y^5}\)
Giải bài tập Bài 6 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Mật khẩu của máy tính là một dãy các kí tự (có kể thứ tự từ trái qua phải) được chọn từ: 10 chữ số, 26 chữ cái in thường, 26 chữ cái in hoa và 10 kí tự đặc biệt. Bạn Ngân muốn lập một mật khẩu của máy tính có độ dài là 8 kí tự bao gồm: 4 kí tự đầu tiên là 4 chữ số đổi một khác nhau, 2 kí tự tiếp theo là chữ cái in thường, 1 kí tự tiếp theo nữa là chữ cái in hoa, kí tự cuối cùng là kí tự đặc biệt. Bạn Ngân có bao nhiêu cách lập một mật khẩu của máy tính?
Phương pháp giải
Bước 1: Chọn 4 kí tự đầu tiên là 4 chữ số khác nhau từ 10 chữ số (có sắp xếp)
Bước 2: Chọn 2 kí tự tiếp theo từ 26 chữ cái in thường
Bước 3: Chọn 1 kí tự tiếp theo từ 26 chữ cái in hoa
Bước 4: Chọn 1 kí tự cuối cùng từ 10 kí tự đặc biệt
Bước 5: Áp dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải
+) Số cách chọn 4 kí tự đầu tiên là: \(A_{10}^4\) (cách chọn)
+) Số cách chọn 2 kí tự tiếp theo là: \(C_{26}^1.C_{26}^1\) (cách chọn)
+) Số cách chọn 1 kí tự tiếp theo là: \(C_{26}^1\) (cách chọn)
+) Số cách chọn 1 kí tự cuối cùng là: \(C_{10}^1\) (cách chọn)
+) Áp dụng quy tắc nhân, ta có số mật khẩu có thể tạo thành là:
\(A_{10}^4.C_{26}^1.C_{26}^1.C_{26}^1.C_{10}^1\) ( mật khẩu)
Giải bài tập Bài 7 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Một trường trung học phổ thông tổ chức cuộc thi chạy tiếp sức giữa các lớp với nội dung 4 x 100 m và yêu cầu mỗi đội gồm 2 nam, 2 nữ. Bạn An được giáo viên giao nhiệm vụ chọn ra 4 bạn và sắp xếp thứ tự chạy của các bạn đó để đăng kí dự thi. Bạn An có bao nhiêu cách lập ra một đội thi đủ điều kiện đăng kí? Biết lớp bạn An có 22 nam và 17 nữ.
Phương pháp giải
Bước 1: Chọn ra 2 bạn nam bất kì từ 22 bạn nam
Bước 2: Chọn ra 2 bạn nữ bất kì từ 17 bạn nữ
Bước 3: Sắp xếp 4 bạn đã chọn theo thứ tự nào đó
Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải
+) Số cách chọn ra 2 bạn nam bất kì từ 22 bạn nam là: \(C_{22}^2\) (cách chọn)
+) Số cách chọn ra 2 bạn nữ bất kì từ 17 bạn nữ là: \(C_{17}^2\) (cách chọn)
+) Số cách sắp xếp thứ tự thi đấu của 4 bạn là: \(4!\) (cách xếp)
+) Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách lập một đội thi đấu là: \(C_{22}^2.C_{17}^2.4!\) ( cách lập )
Giải bài tập Bài 8 trang 20 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Bác Thảo muốn mua 2 chiếc máy tính để phục vụ công việc. Người bán hàng giới thiệu cho bác 3 hãng máy tính để tham khảo: hãng thứ nhất có 4 loại máy tính phù hợp, hãng thứ hai có 5 loại máy tính phù hợp, hãng thứ ba có 7 loại máy tính phù hợp. Bác Thảo có bao nhiêu cách chọn 2 máy tính dùng cho công việc?
Phương pháp giải
Chọn 2 máy tính bất kì từ 4+5+7=16 máy tính => tổ hợp chập 2 của 16.
Hướng dẫn giải
+) Tổng số máy tính phù hợp là : \(4 + 5 + 7 = 16\) (máy tính)
+) Số cách chọn 2 máy tính từ 16 máy tính phù hợp là: \(C_{16}^2 = 120\) ( cách chọn)
Trả lời