Giải bài tập Bài 4. Nhị thức Newton (C5 – Toán 10 Cánh diều)
=============
Giải bài tập Bài 1 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {2x + 1} \right)^4}\)
b)\({\left( {3y – 4} \right)^4}\)
c)\({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4}\)
d)\({\left( {x – \frac{1}{3}} \right)^4}\)
Phương pháp giải
Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 4\): \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b +6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}{.1^1} + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.1^2} + 4.\left( {2x} \right){.1^3} + {1^4} = 16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {3y – 4} \right)^4} = {\left[ {3y + \left( { – 4} \right)} \right]^4} = {\left( {3y} \right)^4} + 4.{\left( {3y} \right)^3}.\left( { – 4} \right) + 6.{\left( {3y} \right)^2}.{\left( { – 4} \right)^2} + 4.{\left( {3y} \right)^1}{\left( { – 4} \right)^3} + {\left( { – 4} \right)^4}\\ = 81{y^4} – 432{y^3} + 864{y^2} – 768y + 256\end{array}\)
c) \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = {x^4} + 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}\)
d) \(\begin{array}{l}{\left( {x – \frac{1}{3}} \right)^4} = {\left[ {x + \left( { – \frac{1}{3}} \right)} \right]^4} = {x^4} + 4.{x^3}.{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^1} + 6.{x^2}.{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^2} + 4.x.{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^3} + {\left( { – \frac{1}{3}} \right)^4}\\ = {x^4} – \frac{4}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^2} – \frac{4}{9}x + \frac{1}{{81}}\end{array}\)
Giải bài tập Bài 2 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {x + 1} \right)^5}\)
b) \({\left( {x – 3y} \right)^5}\)
Phương pháp giải
Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\):\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.1 + 10.{x^3}{.1^2} + 10.{x^2}{.1^3} + 5.{x^1}{.1^4} +{1^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {x – 3y} \right)^5} = {\left[ {x + \left( { – 3y} \right)} \right]^5} = {x^5} + 5{x^4}{\left( { – 3y} \right)^1} + 10{x^3}{\left( { – 3y} \right)^2} + 10{x^2}{\left( { – 3y} \right)^3} + 5{x^1}{\left( { – 3y} \right)^4} + {\left( { – 3y} \right)^5}\\ = {x^5} – 15{x^4}y + 90{x^3}{y^2} – 270{x^2}{y^3} + 405x{y^4} – 243{y^5}\end{array}\)
Giải bài tập Bài 3 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {3x + 2} \right)^5}\)
Phương pháp giải
B1: Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\):\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
B2: Tìm hệ số của \({x^4}\)
Hướng dẫn giải
+) Ta có: \(\begin{array}{l}{\left( {3x + 2} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}2 + 10.{\left( {3x} \right)^3}{2^2} + 10{\left( {3x} \right)^2}{.2^3} + 5.\left( {3x} \right){.2^4} + {2^5}\\ = 243{x^5} + 810{x^4} + 1080{x^3} + 720{x^2} + 240x + 32\end{array}\)
+) Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển trên là: \({a_4} = 810\)
Giải bài tập Bài 4 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Cho \({\left( {1 – \frac{1}{2}x} \right)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5}\) . Tính:
a) \({a_3}\)
b) \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)
Phương pháp giải
a) Bước 1: Sử dụng khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\):
\({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Bước 2: Đồng nhất hệ số \( \Rightarrow {a_3}\) là hệ số của \({x_3}\)
b) Nhận xét: Thay \(x = 1\) vào khai triển ban đầu ta có ngay tổng cần tính
Hướng dẫn giải
a) +) Ta có: \({\left( {1 – \frac{1}{2}x} \right)^5} = 1 – \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} – \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} – \frac{1}{{32}}{x^5}\)
+) Đồng nhất hệ số với khai triển ở đề bài ta thấy: \({a_3} = \frac{{ – 5}}{4}\)
b) +) Thay \(x = 1\) vào biểu thức khai triển ở đề bài, ta có: \({\left( {1 – \frac{1}{2}.1} \right)^5} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\)
+) Vậy tổng :\({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^5} = \frac{1}{{32}}\)
Giải bài tập Bài 5 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2
Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?
Phương pháp giải
Một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) thì số tập con của tập hợp đó là: \({2^n}\) ( tập con)
Hướng dẫn giải
Do tập hợp A có 5 phần tử nên số tập con của tập hợp A là: \({2^5} = 32\) (tập con)
Trả lời