Giải bài tập Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ (Kết nối)

Giải bài tập Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ (Kết nối)
============

Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} – 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} – \cot {{60}^o}} \right)\)

b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} – {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

 

Giải bài 3.1 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} – 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} – \cot {{60}^o}} \right)\)

b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} – {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Phương pháp giải

a) Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({135^o},{150^o},{180^o}\) về GTLG của các góc \({45^o},{30^o},{0^o}\)

\(\cos {135^o} =  – \cos {45^o};\cos {180^o} =  – \cos {0^o}\\\tan {150^o} =  – \tan {30^o}\)

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

b) Bước 1: Đưa GTLG của các góc \({120^o},{135^o}\) về GTLG của các góc \({60^o},{45^o}\)

\(\cos {120^o} =  – \cos {60^o}, \cot {135^o} =  – \cot {45^o}\)

Bước 2: Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

\(\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\)

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt  \(A = \left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} – 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} – \cot {{60}^o}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {135^o} =  – \cos {45^o};\cos {180^o} =  – \cos {0^o}\\\tan {150^o} =  – \tan {30^o}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A = \left( {2\sin {{30}^o} – \cos {{45}^o} + 3\tan {{30}^o}} \right).\left( { – \cos {0^o} – \cot {{60}^o}} \right)\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^o} = \frac{1}{2};\tan {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\cos {0^o} = 1;\cot {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A = \left( {2.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right).\left( { – 1 – \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A =  – \left( {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 3 } \right).\left( {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow A =  – \frac{{2 – \sqrt 2  + 2\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow A =  – \frac{{\left( {2 – \sqrt 2  + 2\sqrt 3 } \right)\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{6}\\ \Leftrightarrow A =  – \frac{{6 + 2\sqrt 3  – 3\sqrt 2  – \sqrt 6  + 6\sqrt 3  + 6}}{6}\\ \Leftrightarrow A =  – \frac{{12 + 8\sqrt 3  – 3\sqrt 2  – \sqrt 6 }}{6}.\end{array}\)

b)

Đặt  \(B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} – {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {120^o} =  – \cos {60^o}\\\cot {135^o} =  – \cot {45^o}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}{120^o} = {\cos ^2}{60^o}\\{\cot ^2}{135^o} = {\cot ^2}{45^o}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B = {\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{60^o} + {\cos ^2}{0^o} – {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{45^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos {0^o} = 1;\;\;\cot {45^o} = 1;\;\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\\\tan {60^o} = \sqrt 3 ;\;\;\sin {90^o} = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B = {1^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {1^2} – {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2}\)

\( \Leftrightarrow B = 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1 = \frac{1}{4}.\)

c)

Đặt  \(C = \cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

\(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\cos {60^o} = \frac{1}{2}\;\)

\( \Rightarrow C = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + {\left( {\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1.\)

<!–

Giải bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

<![CDATA[

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)

b) \(2\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\cot \alpha  – \cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right)\) với \({0^o} < \alpha  < {90^o}\).

 

Giải bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)

b) \(2\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\cot \alpha  – \cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right)\) với \({0^o} < \alpha  < {90^o}\).

Phương pháp giải

*Áp dụng công thức

Đối với hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({{{180}^0} – \alpha }\), ta có:

\(\begin{array}{l}
*\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;*cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – cos\alpha \\
*\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \tan \left( {x \ne {{90}^0}} \right);\;\;\;\;\;\;\;\;\;*\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0}} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\sin {100^o} = \sin \left( {{{180}^o} – {{80}^o}} \right) = \sin {80^o}\\\cos {164^o} = \cos \left( {{{180}^o} – {{16}^o}} \right) =  – \cos {16^o}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o}\)\( = \sin {80^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} – \cos {16^o}\)\( = 2\sin {80^o}.\)

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \tan \alpha \\\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha \end{array} \right.\quad ({0^o} < \alpha  < {90^o})\)\( \Rightarrow 2\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\cot \alpha  – \cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} – \alpha } \right)\) \( = 2\sin \alpha .\cot \alpha  – \left( { – \cos \alpha } \right).\tan \alpha .\left( { – \cot \alpha } \right)\)\( = 2\sin \alpha .\cot \alpha  – \cos \alpha .\tan \alpha .\cot \alpha \)

\( = 2\sin \alpha .\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} – \cos \alpha .\left( {\tan \alpha .\cot \alpha } \right)\)\( = 2\cos \alpha  – \cos \alpha  = \cos \alpha .\)

<!–

Giải bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

<![CDATA[

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})\)

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

 

Giải bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})\)

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Phương pháp giải

a)

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc \(\alpha \) bất kì.

Bước 2: Xác định \(\sin \alpha ,\;\cos \alpha \)( tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

b)

Bước 1: Viết \(\tan \alpha \) dưới dạng \(\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha  \ne {90^o})\), thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

c)

Bước 1: Viết \(\cot \alpha \) dưới dạng \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\), thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Hướng dẫn giải

a)

Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \). Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \alpha \\y = \sin \alpha \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = {x^2}\\{\sin ^2}\alpha  = {y^2}\end{array} \right.\)(1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = ON\\\left| y \right| = OP = MN\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {\left| x \right|^2} = O{N^2}\\{y^2} = {\left| y \right|^2} = M{N^2}\end{array} \right.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = O{N^2} + M{N^2} = O{M^2}\) (do \(\Delta OMN\) vuông tại N)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) (vì OM =1). (đpcm)

b) Ta có:  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\;\;(\alpha  \ne {90^o})\)

\( \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc \(\alpha \)

\( \Rightarrow 1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) (đpcm)

c) Ta có:  \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc \(\alpha \)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm)

<!–

Giải bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

<![CDATA[

Cho góc \(\alpha \;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 3\)

Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{2\sin \alpha  – 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\)

 

Giải bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho góc \(\alpha \;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 3\)

Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{2\sin \alpha  – 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\)

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos \alpha\).

Hướng dẫn giải

Cách 1: 

Vì  \(\tan \alpha  = 3\) nên \(\cos \alpha \ne 0\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow P = \dfrac{{\frac{{2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \dfrac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} – 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}}\\
\Leftrightarrow P = \dfrac{{2\tan \alpha – 3}}{{3\tan \alpha + 2}} = \dfrac{{2.3 – 3}}{{3.3 + 2}} = \dfrac{3}{{11}}.
\end{array}\)

Cách 2: 

Ta có: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {3^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

Vì \({0^o} < \alpha  < {180^o}\) nên \(\sin \alpha  > 0\).

Mà \(\tan \alpha  = 3 > 0 \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

Lại có: \(\sin \alpha  = \cos \alpha .\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.3 = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{{2.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} – 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}}{{3.\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} + 2.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}}} = \dfrac{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {2.3 – 3} \right)}}{{\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\left( {3.3 + 2} \right)}} = \dfrac{3}{{11}}.\)