Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;2;0} \right),{A_1}\left( {0;0;m} \right)\left( {m > 0} \right)\) và \({A_1}C\) vuông góc với \(B{C_1}\). Thể tích khối tứ diện \({A_1}CB{C_1}\) là:

Ta có: \({C_1}\left( {0;2;m} \right),\overrightarrow {{A_1}C}  = \left( {0; – 2;m} \right),\overrightarrow {B{C_1}}  = \left( { – 2;2;m} \right)\)

Vì \({A_1}C\) vuông góc với \(B{C_1}\) nên \(\overrightarrow {{A_1}C} \overrightarrow {B{C_1}}  = 0 \Leftrightarrow 0.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).2 + m.m = 0 \Leftrightarrow m = 2\) (vì \(m > 0\))

Ta có: \(AC = 2;AB = 2;A{A_1} = 2 \Rightarrow {V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{1}{2}.2.2.2 = 4\)

Thể tích khối tứ diện \({A_1}CB{C_1}\) là: \(V = \frac{1}{3}{V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = \frac{4}{3}.\)