Câu hỏi:
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}\) là
Lời Giải:
Đây là các bài toán Mặt cầu trong phần Hình học 12 – PHẦN MẶT TRÒN XOAY .
Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\ CD\). Gọi \(K\) là trung điểm \(IJ\). (Lúc này, \(K\) là trọng tâm tứ diện).
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2M{I^2} + \frac{{{a^2}}}{2}\\
M{C^2} + M{D^2} = 2M{J^2} + \frac{{C{D^2}}}{2} = 2M{J^2} + \frac{{{a^2}}}{2}
\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=2\left( M{{I}^{2}}+M{{J}^{2}} \right)+{{a}^{2}}\) \)=2\left( 2M{{K}^{2}}+\frac{I{{J}^{2}}}{2} \right)+{{a}^{2}}\)
Ta có: \(I{{J}^{2}}=\frac{I{{C}^{2}}+ID{}^{2}}{2}-\frac{C{{D}^{2}}}{4}=I{{C}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}={{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)
\(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=4M{{K}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{2}\).
Do đó: \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow 4M{{K}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{2}=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow MK=\frac{a\sqrt{2}}{4}\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn hệ thức đề bài là mặt cầu tâm \(K\), bán kính bằng \(\frac{a\sqrt{2}}{4}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Mặt Cầu
Trả lời