Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) đáy \(ABC\) là tam giác có \(AB=5,AC=8\) và góc \(\widehat{\left( AB,AC \right)}={{60}^{0}}.\) Gọi \(V,V'\) lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số \(\frac{V'}{V}?\)

Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác ABC ta có \(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC.c\text{os6}{{\text{0}}^{0}}=25+64-2.5.8.\frac{1}{2}=49.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin {{60}^{0}}=\frac{1}{2}.5.8.\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.\)

Mặt khác:

\({{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4R},\) với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

\(\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{5.8.7}{4.10\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.\)

Ngoài ra: \({{S}_{ABC}}=pr,\) trong đó \(p=\frac{1}{2}\left( AB+BC+AC \right)=10\) và \(R\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC \(\Rightarrow r=\frac{{{S}_{ABC}}}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\)

Hình trụ ngoại tiếp và nội tiếp lăng trụ đã cho có bán kính đáy lần lượt là \(R,r\) và có chiều cao bằng chiều cao của hình lăng trụ.

Giả sử \(h\) là chiều cao hình lăng trụ, ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\) và \(V=\pi {{r}^{2}}h\)

Vậy \(\frac{V’}{V}=\frac{9}{49}.\)