Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho \(AB=2a.\) Tính thể tích của khối tứ diện \(\text{OO}'AB.\)

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xúng của A’ qua O’ và H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng \(AD.\)

\(\left\{ \begin{align} & BH\bot A’D \\ & BH\bot AA’ \\ \end{align} \right.\Rightarrow BH\bot \left( AOOA’ \right)\)

Do đó, BH là chiều cao của tứ diện \(\text{OO}’AB\)

Thể tích khối tứ diện \(\text{OO}’AB:V=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta AOO’}}.BH\)

Tam giác \(AA’B\) vuông tại A’ cho: \(A’B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A'{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

Tam giác \(A’B=\sqrt{A'{{D}^{2}}-A'{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a.\)

Suy ra \(BO’D\) là tam giác đều cạnh \(a.\)

Từ đó \(BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Do \(OA=\text{OO }\!\!’\!\!\text{ =a}\) nên tam giác \(AOO’\) vuông cân tại O.

Diện tích tam giác \(AOO’\) là:

\({{S}_{\Delta AOO’}}=\frac{1}{2}OA.\text{OO }\!\!’\!\!\text{ =}\frac{1}{2}{{a}^{2}}\)

Vậy \(V=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)