Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Qua O, kẻ \(\left( {{\Delta }_{1}} \right)\bot \left( ABCD \right)\) thì \(\left( {{\Delta }_{1}} \right)\)là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD.\)

Do \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\) nên kẻ \(SH\bot AB\) thì \(SH\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB và kẻ \(\left( {{\Delta }_{2}} \right)\bot \left( SAB \right)\) tại E thì \(\left( {{\Delta }_{2}} \right)\)là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAB.\)

\(\left( {{\Delta }_{1}} \right)\)cắt \(\left( {{\Delta }_{2}} \right)\)tại I: tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD.\)

Tứ giác OHEI có 3 góc vuông O, H, E nên là hình chữ nhật

\(SH=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,=\,\,a\sqrt{3}\Rightarrow \,\,EH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Trong \(\Delta AIO:\,\,\,R=AI=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{9}}=\frac{a\sqrt{21}}{3}\).