Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại B, \(AB=BC=a\sqrt{3},\) \(\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \(a\sqrt{2}.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) theo a.

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot SC \\ & SH\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow HC\bot BC\)

Tương tự , \(AH\bot AB\)

Và \(\Delta ABC\) vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông.

Gọi \(O=AC\cap BH,O\) là tâm hình vuông.

Dựng một đường thẳng \(d\) qua \(O\) vuông góc với \(\left( ABCH \right),\) dựng mặt phẳng trung trực của SA qua trung điểm J cắt \(d\) tại \(I,I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Ta hoàn toàn có \(IJ\bot SA\Rightarrow \text{IJ}//AB\Rightarrow I\) là trung điểm SB, hay \(I=d\cap SC.\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: \({{r}_{S.SBC}}=AI=\sqrt{\text{I}{{\text{J}}^{2}}+J{{A}^{2}}};\,\,\,\,\text{IJ}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do \(AH//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=d\left( H,\left( SBC \right) \right)=HK\)

 ( K là hình chiếu của H lên SC và \(BC\bot \left( SHC \right)\) \(\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\) )

\(\Rightarrow HK=a\sqrt{2}\) tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\Rightarrow SH=a\sqrt{6}\)

Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\Rightarrow SA=3a\)

\(JA=\frac{SA}{2}=\frac{3a}{2}\Rightarrow {{r}_{S.ABC}}=AI=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{mc}}=4\pi {{r}^{2}}=12\pi {{a}^{2}}.\)