Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm cực trị là \( – 1\) và \(1\). Gọi \(y = g(x) = m{x^2} + nx + p\,\,\,(m < 0)\) là hàm số bậc hai có cực trị tại \(x = – 1\)và có đồ thị điqua điểm có hoành độ\(x = 1\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạnbởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

B. \(\left( {1;2} \right)\).

C. \(\left( {2;3} \right)\).

D. \(\left( {3;4} \right)\).

Lời giải:

Hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị tại \(x = \pm 1\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}y’\left( 1 \right) = 0\\y’\left( { – 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b + 3 = 0\\ – 2a + b + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = – 3\end{array} \right.\).

Hàm số \(y = m{x^2} + nx + p\,\)đạt cực đại tại \(x = – 1\) và cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) tại hai điểm có hoành độ \(x = \pm 1\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} – 2m + n = 0\\1 + a + b + c = m + n + p\\ – 1 + a – b + c = m – n + p\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = – 2\\m = – 1\\p – c = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {m{x^2} + nx + p – {x^3} – a{x^2} – bx – c} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| { – {x^3} – {x^2} + x + 1} \right|dx} = \frac{4}{3} \in \left( {1;2} \right)\)