Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\). Biết đồ thi hàm số \(f\left( x \right)\) có một điểm cực trị là \(A\) có hoành độ bằng \(1\), đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm \(B\) có tung độ là \( – 5\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(E\left( { – b – c\,;\,d} \right)\). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(\Delta \) và đồ thi hàm số \(f\left( x \right)\) được tính bởi công thức

B. \(S = \int\limits_{1 – \sqrt 5 }^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 6x + 2d} \right|{\rm{d}}x} \).

C. \(S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} – 6x + d} \right|{\rm{d}}x} \).

D. \(S = \int\limits_{1 – \sqrt 5 }^{1 + \sqrt 5 } {\left| {{x^3} + {x^2} – 6x + 4} \right|{\rm{d}}x} \).

Lời giải:

Ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)

Theo đề ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( 1 \right) = 0\\f’\left( 0 \right) = – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2b + c = 0\\c = – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = – 5\\b = 1\end{array} \right.\).

Do đó: \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} – 5x + d\).

Khi đó: \(A\left( {1\,;\,d – 3} \right)\) và \(E\left( {4\,;\,d} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {3\,;\,3} \right) = 3.\left( {1\,;\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(\Delta \) có một véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1\,;\, – 1} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {1\,;\,d – 3} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1\,;\, – 1} \right)\), nên \(\Delta \) có phương trình là:

\(\begin{array}{l}\left( {x – 1} \right) – \left( {y – d + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x – y + d – 4 = 0\\ \Leftrightarrow y = x + d – 4\end{array}\)

Xét phương trình:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x + d – 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 5x + d = x + d – 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} – 6x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 – \sqrt 5 \\x = 1\\x = 1 + \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(\Delta \) và đồ thi hàm số \(f\left( x \right)\) được tính bởi công thức:

\(S = \int\limits_{1 – \sqrt 5 }^{1 + \sqrt 5 } {\left| {{x^3} + {x^2} – 5x + d – \left( {x + d – 4} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{1 – \sqrt 5 }^{1 + \sqrt 5 } {\left| {{x^3} + {x^2} – 6x + 4} \right|{\rm{d}}x} \).