Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – \frac{1}{2}\) và \(g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 1\) \(\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là \( – 3\); \( – 1\); \(1\) . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. \(5\). B. \(\frac{9}{2}\). C. \(4\). D. \(8\). Lời giải: Ta có: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\). Suy ra \(a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = a{x^3} + \left( {b – d} \right){x^2} + \left( {c – e} \right)x – \frac{3}{2}\) Xét hệ số tự do suy ra: \( – 3a = – \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}\). Do đó: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\). Diện tích bằng: \(S = \int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \)\( \Leftrightarrow S = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 3}^{ – 1} {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right){\rm{d}}x} – \frac{1}{2}\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right){\rm{d}}x} \)\( = 4\).