Cho đường tròn tâm O bán kính r′. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA=h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.

Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I.

Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp.

Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ta có d⊥(ABCD) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

Ta có MI // SA nên MI⊥(ABCD) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’//OI cắt d tại O’.

Vì d′⊥(SAC) tại M nên ta có  O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có

\( r = O’C = \sqrt {O{O^{\prime 2}} + O{C^2}} = \sqrt {M{I^2} + {r^{\prime 2}}} = \sqrt {{{(\frac{h}{2})}^2} + {r^{\prime 2}}} = \frac{{\sqrt {{h^2} + 4{r^{\prime 2}}} }}{2}\)