Bài tập minh họa Ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất vào giải toán
Ví dụ 1 . Giải các bất phương trình sau:
a) $\left( x-1 \right)\left( 2-3x \right)\ge 0.$
b) $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)<0.$
c) $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0.$
d) $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0.$
a) Ta có $\left( x-1 \right)\left( 2-3x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x=\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{2}{3};1 \right].$
b) Ta có $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)$ $=\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right).$
Bảng xét dấu:
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;4 \right).$
c) Ta có $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\le 0$ (vì ${{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Bảng xét dấu:
Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{1}{2};1 \right].$
d) Ta có $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0$ $\Leftrightarrow x\sqrt{3}\left( x-\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}-x \right)\left( \sqrt{3}+x \right)\le 0$ $\Leftrightarrow -\sqrt{3}x{{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}\left( x+\sqrt{3} \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\sqrt{3} \\
x\left( x+\sqrt{3} \right)\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:
Suy ra $x\left( x+\sqrt{3} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-\sqrt{3}]\cup [0;+\infty ).$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;-\sqrt{3}]\cup [0;+\infty ).$
Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{-2x+4}{\left( 2x-1 \right)\left( 3x+1 \right)}\le 0.$
b) $\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}<1.$
c) $\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\le \frac{1}{x+4}.$
a) Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\frac{1}{3};\frac{1}{2})\cup [\text{ 2};+\infty ).$
b) Ta có $\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}<1$ $\Leftrightarrow 1-\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}>0$ $\Leftrightarrow \frac{x+5}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}>0.$
Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;-1)\cup (1;+\infty ).$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix}
x\ne 2 \\
x\ne -4 \\
\end{matrix} \right.$
Ta có $\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\le \frac{1}{x+4}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x+4}-\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4x}{\left( x+4 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{x\left( x-4 \right)}{\left( x+4 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{x\left( x-4 \right)}{\left( x+4 \right)}\ge 0.$
Bảng xét dấu:
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-4;0]\cup [4;+\infty ).$
Ví dụ 3 . Giải các bất phương trình sau:
a) $\left| 2x+1 \right|<3x.$
b) $\left| \left| 2x-1 \right|-4 \right|>3.$
c) $\left| x+1 \right|-\left| x-2 \right|\ge 3.$
a)
+ Với $x\ge -\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $2x+1<3x$ $\Leftrightarrow x>1.$ Kết hợp với điều kiện $x\ge -\frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $\left( 1;+\infty \right).$
+ Với $x<-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $-2x-1<3x$ $\Leftrightarrow x>-\frac{1}{5}.$ Kết hợp với điều kiện $x<-\frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;+\infty \right).$
b) Ta có $\left| \left| 2x-1 \right|-4 \right|>3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| 2x-1 \right|-4>3 \\
\left| 2x-1 \right|-4<-3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| 2x-1 \right|>7 \\
\left| 2x-1 \right|<1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\begin{align}
& 2x-1>7 \\
& 2x-1<-7 \\
\end{align} \\
-1<2x-1<1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\begin{align}
& x>4 \\
& x<-3 \\
\end{align} \\
0<x<1 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
c) Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau:
+ Với $x<-1$ ta có bất phương trình tương đương với $-\left( x+1 \right)+\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow -3\ge 3$ (vô nghiệm).
+ Với $-1\le x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $\left( x+1 \right)+\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow x\ge 2.$ Kết hợp với điều kiện $-1\le x<2$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $x\ge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $\left( x+1 \right)-\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow 3\ge 3.$ Kết hợp với điều kiện $x\ge 2$ suy ra bất phương trình có nghiệm là $x\ge 2.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2;+\infty ).$
Ví dụ 4 . Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{\left| x-2 \right|-x}{x}<1.$
b) $\frac{\left| x-1 \right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0.$
a)
+ Với $x\ge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $\frac{x-2-x}{x}<1$ $\Leftrightarrow \frac{-2}{x}<1$ $\Leftrightarrow x>-2.$ Kết hợp điều kiện $x\ge 2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{1}}=[2;+\infty ).$
+ Với $x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $\frac{2-x-x}{x}<1$ $\Leftrightarrow \frac{2-2x}{x}<1$ $\Leftrightarrow 1-\frac{2-2x}{x}>0$ $\Leftrightarrow \frac{3x-2}{x}>0.$
Bảng xét dấu:
Kết hợp điều kiện $x<2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{2}}=(-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};2).$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}={{S}_{1}}\cup {{S}_{2}}=(-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};+\infty ).$
b) Điều kiện xác định: ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne 0 \\
x\ne \pm 1 \\
\end{matrix} \right.$
Ta có $\frac{\left| x-1 \right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{\left( \left| x-1 \right|+1 \right)\left( \left| x-1 \right|-1 \right)}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{{\left| x-1 \right|}^{2}}-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^4} – {x^2}}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{{x^2}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{{x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ge 0.$
Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).$
Trả lời