Lý thuyết bài Dấu của nhị thức bậc nhất

I. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đổi với x là biểu thức dạng $f(x)=ax+b$trong đó a, b là hai số đã cho, $a \neq 0$

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

ĐỊNH LÍ

Nhị thức $f(x)=ax+b$có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left ( -\frac{b}{a};+\infty  \right )$,trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng $\left ( -\infty ;-\frac{b}{a} \right ).$

Nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ nhỏ hơn nghiệm của nó.
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất:

II. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử $f(x)$là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bẳng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong $f(x)$ta suy ra được dấu của $f(x)$. Trường hợp $f(x)$là một thương cũng được xét tương tự.

III. Áp dụng vào giải bất phương trình

a) Giải bất phương trình tích:
Các dạng toán: $P(x)>0$, $P(x)≥0$, $P(x)<0$, $P(x)≤0$ trong đó $P\left( x \right)$ là tích các nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của $P\left( x \right)$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Các dạng toán: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}≥0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}<0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}≤0$ trong đó $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ là tích những nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.

c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ):

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng $|f(x)|\leq a$và $|f(x)|\geq a$với $a>0$đã cho.

Ta có:

\(\begin{matrix}|f(x)|\leq a\Leftrightarrow -a \leq f(x) \leq a & \\ |f(x)|\geq a\Leftrightarrow \left[ \matrix{f(x) \leq -a \hfill \cr f(x) \geq a \hfill \cr} \right. & \end{matrix}(a>0)\)