1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa
– Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
– Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng đó bằng \(0^o\).
b) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Giả sử hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) cắt nhau theo giao tuyến c.
Từ một điểm I bất kỳ trên c ta dựng trong \((\alpha)\) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong \((\beta)\) đường thẳng b vuông góc với c.
Góc giữa hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
c) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) có diện tích S và H là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng \((\beta)\). Khi đó diện tích S’ của H được tính theo công thức: \(S’ = Scos\varphi \) với \(\varphi \) là góc giữa \((\alpha)\) và \(\beta\).
1.2. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
b) Các định lí
– Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\).
– Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
1.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
a) Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là hình chiếu cao của hình lăng trụ đứng.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác, lăng trụ đứng ngũ giác,…
– Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật có đáy là hình hộp chữ nhật.
– Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi hình lập phương.
b) Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.
1.4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
– Nhận xét:
+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tâm giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
b) Hình chóp cụt đều
Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
2. Bài tập minh họa
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = \( \frac{3a}{{2}}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Hướng dẫn giải:
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\alpha\).
Gọi M là trung điểm của BC.
Tam giác ABC là tam giác đều nên AM \(\bot \) BC (1).
Ta có: SA \(\bot \) (ABC), suy ra theo số (1) ta có SM \(\bot \) BC (2).
Lại có (SBC) \( \cap \) (ABC) = BC (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\alpha=\widehat {SMA}\).
Ta có \(AM = \sqrt {A{C^2} – C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác SAM vuông tại A, ta có:
tan \(\alpha\) = \(\frac{{SA}}{{AM}} = \frac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).
Vậy \(\alpha=60^o\).
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A lấy điểm S sao cho \(SD=\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Chứng minh (SAB) \(\bot \) (SAC).
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BC thì AI \(\bot \) BC và I cũng là trung điểm của AD.
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AD\\ BC \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAD) \Rightarrow BC \bot SA.\)
Kẻ IH \(\bot \) SA (H \(\in \) SA), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} SA \bot IH\\ SA \bot CB \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot (HCB) \).
Suya ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là BHC.
Ta có: \(\Delta AHI \sim \Delta ADS \Rightarrow \frac{{IH}}{{SD}} = \frac{{AI}}{{AD}}\).
Mà AI = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
AD = 2AI = \(a\sqrt 3\).
\(SA = \sqrt {A{D^2} + S{D^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra \(IH = \frac{{AI.SD}}{{AD}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{a}{2} = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow \widehat {BHC} = {90^o}\).
Vậy (SAB) \(\bot \) (SAC).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Bài 1:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C).
Hướng dẫn giải:
Kẻ \(BH \bot A’C,{\rm{ (H}} \in {\rm{A’C)}}\) (1).
Mặt khác: \(BD \bot AC{\rm{ (gt)}}\)
\(AA’ \bot (ABCD) \Rightarrow AA’ \bot BD{\rm{ }}\)
\(\Rightarrow BD \bot (ACA’) \Rightarrow BD \bot A’C\) (2)
Từ (1) (2) suy ra:
\(A’C \bot (BDH) \Rightarrow A’C \bot DH\)
Do đó: \((\widehat {(BA’C),(DA’C)}) = (\widehat {HB,HD})\)
Xét tam giác BCA’ ta có:
\(\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{BA{‘^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow BH = a.\sqrt {\frac{2}{3}} \Rightarrow DH = a.\sqrt {\frac{2}{3}}\)
Ta có:
\(\cos \widehat {BHD} = \frac{{2B{H^2} – B{D^2}}}{{2B{H^2}}} = – \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BHD} = {120^0}>90^0\)
Vậy: \(\widehat {((BA’C),(DA’C))} =180^0-120^0= {60^0}.\)
Bài 2:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\), BB’=a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Hướng dẫn giải:
Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC).
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu ta có: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}}\).
Ta có:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\(AB’ = \sqrt {A{B^2} + BB{‘^2}} = a\sqrt 2\)
\(IB’ = \sqrt {B’C{‘^2} + IC{‘^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên \({S_{AB’I}} = \frac{1}{2}.AB’.AI = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).
Vậy: \(\cos \varphi = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB’I}}}} = \sqrt {\frac{3}{{10}}} .\)
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, SA=SC. Chứng minh rằng: \((SBD) \bot (ABCD).\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(AC \bot BD\) (1) (giả thiết).
Mặt khác, \(SO \bot AC\) (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AC \bot (SBD)\) mà \(AC \subset (ABCD)\) nên \((SBD) \bot (ABCD).\)
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, \(AD = a\sqrt 2\), \(SA \bot (ABCD)\). Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: \((SAC) \bot (SMB).\)
Lời giải:
Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BM{\rm{ (1)}}\).
Xét tam giác vuông ABM có: \(\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}} = \sqrt 2\).
Xét tam giác vuông ACD có: \(\tan \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l} \cot \widehat {AIM} = \cot ({180^0} – (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}))\\ = \cot (\widehat {AMB} + \widehat {CAD}) = 0 \Rightarrow \widehat {AIM} = {90^0} \end{array}\)
Hay \(BM \bot AC{\rm{ (2)}}\).
+ Từ (1) và (2) suy ra: \(BM \bot (SAC)\) mà \(BM \subset (SAC)\) nên \((SAC) \bot (SMB).\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = \(a\sqrt 3\) và vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và( ABC). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
A. \(\alpha=30^o\).
B. sin \(\alpha=\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
C. \(\alpha=60^o\).
D. sin \(\alpha=\frac{2{\sqrt 5 }}{5}\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy, M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. BM \(\bot \) AC.
B. (SBM) \(\bot \) (SAC).
C. (SAB) \(\bot \) (SBC).
D. (SAB) \(\bot \) (SAC).
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC. Mặt phẳng (P) qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp đã cho là hình gì?
A. Tam giác đều.
B. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông.
D. Tứ giác.
Bài 4: Trong các khẳng định sau về lăng trụ đều, khẳng định nào không đúng?
A. Đáy là đa giác đều.
B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
C. Các cạnh bên là những đường cao.
D. Các mặt bên là những hình vuông.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng (BDA’) và (ABCD) bằng:
A. \(\frac{{\sqrt {3} }}{{4}}\).
B. \(\frac{{\sqrt {6} }}{{4}}\).
C. \(\frac{{\sqrt {6} }}{{3}}\).
D. \(\frac{{\sqrt {3} }}{{3}}\)
Trả lời