Bài 1. Vectơ trong không gian – Hình học 11

LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian

a) Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow {AB} \) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {x} \), \(\overrightarrow {y} \), …

b) Phép cộng và phép trừ trong không gian

Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

– Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có  \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) hay \(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).

– Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) .

– Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC. Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AC} \).

c) Phép nhân vectơ với một số

Trong không gian, tích của vectơ \(\overrightarrow {a} \) với một số k \( \ne \) 0 là vectơ \(k\overrightarrow {a} \) được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.

2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

a) Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ ​\(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đều khác vectơ – không​. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ ​\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \)​, \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \),​ \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c \)​ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

– Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó ta nói ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) không đồng phẳng.

– Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đồng phẳng.

– Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

b) Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

c) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

– Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \) không cùng phương và vectơ \(\overrightarrow {c} \). Khi đó ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow {c}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b} \). Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

– Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \). Khi đó với mọi vectơ \(\overrightarrow {x} \) ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho \(\overrightarrow {x}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b} +p\overrightarrow {c} \). Ngoài ra bộ ba số m, n, p duy nhất.

* Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đặt \(\overrightarrow {a} = \overrightarrow {BA}\), \(\overrightarrow {b} = \overrightarrow {BC}\), \(\overrightarrow {c} = \overrightarrow {BB’}\). Hãy biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {BD’} \), \(\overrightarrow {AC’} \), \(\overrightarrow {AD’} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \)?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\overrightarrow {BD’} =\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BB’}=\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}\).

\(\overrightarrow {AC’} =​​\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA’}=-\overrightarrow {a} +\overrightarrow {b} +\overrightarrow {c} \).

\(\overrightarrow {AD’} =\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA’}=\overrightarrow {b}+\overrightarrow {c}\).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. I, J là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} \).

b) \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {DC} =2\overrightarrow {IJ} \).

c) \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} =3\overrightarrow {AG} \).

Hướng dẫn giải:

a) VT = \(\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC} +\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}+(\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC} )=\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} =VP\).

Vậy \(\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {AD} +\overrightarrow {BC} \).

b) Ta có:

\(\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {IA} +\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BJ} \) (1).

\(\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {ID} +\overrightarrow {DC} +\overrightarrow {CJ} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(2\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {IA} +\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BJ}+ \overrightarrow {ID} +\overrightarrow {DC} +\overrightarrow {CJ} \).

Vì I là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {IA} +\overrightarrow {ID} =\overrightarrow {0}\).

J là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {CJ} +\overrightarrow {BJ} =\overrightarrow {0}\).

do đó \(2\overrightarrow {IJ}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {DC} \).

Vậy \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {DC} =2\overrightarrow {IJ} \).

c) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} \\ \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} \\ \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} \end{array} \right.\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} =3\overrightarrow {AG} +\overrightarrow {GB} +\overrightarrow {GC}+ \overrightarrow {GD} \).

Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB} +\overrightarrow {GC}+ \overrightarrow {GD} =\overrightarrow {0}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} =3\overrightarrow {AG} \).

Bài 3: Cho tam giác BCD, lấy điểm A nằm ngoài mặt phẳng (BCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho \(\overrightarrow {AD} =4\overrightarrow {MD} \), \(\overrightarrow {BN} =-3\overrightarrow {CN} \). Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {DC} \), \(\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {MD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = – 3\overrightarrow {MD} \end{array}\)

\(\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BN} \\=-3\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {AB} +3\overrightarrow {NC}\\=\overrightarrow {AB}-3(\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {CD})+3\overrightarrow {NC}\\=\overrightarrow {AB}+3\overrightarrow {DC}+3(\overrightarrow {NC}+\overrightarrow {CM})\\=\overrightarrow {AB}+3\overrightarrow {DC}+3\overrightarrow {NM}\)

Suy ra: \(4\overrightarrow {MN} =\overrightarrow {AB}+3\overrightarrow {DC}\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {DC} \).

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {DC} \), \(\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

*. Luyện tập

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tứ diện. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {GA} +\overrightarrow {GB} +\overrightarrow {GC}+\overrightarrow {GD} =\overrightarrow {0} \).

b) \(\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {MB} +\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {MD} =4\overrightarrow {MG} \).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow {SG} \) theo ba vectơ \(\overrightarrow {SA} \), \(\overrightarrow {SB} \), \(\overrightarrow {SC} \).

Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I, K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {BD} \), \(\overrightarrow {IK} \), \(\overrightarrow {C’B’} \) đồng phẳng.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F là trung điểm của AB và CD. Lấy điểm G thuộc thuộc AD và điểm H thuộc BC sao cho \(3\overrightarrow {AG}= 2\overrightarrow {AD}\) và \(2\overrightarrow {BC}= 3\overrightarrow {BH}\). Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng thuộc một mặt phẳng.

2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tứ diện ABCD và điểm M xác định bởi đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. M trùng với A.

B. M là trung điểm BD.

C. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

D. M là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCDN.

Bài 2: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {BD},​​​​\overrightarrow {BD’},​​​​\overrightarrow {BC’}\) đồng phẳng.

B. \(\overrightarrow {CD’},​​​​\overrightarrow {AD},​​​​\overrightarrow {A’B’}\) đồng phẳng.

C. \(\overrightarrow {CD’},​​​​\overrightarrow {AD},​​​​\overrightarrow {A’C}\) đồng phẳng.

D. \(\overrightarrow {AB},​​​​\overrightarrow {AD},​​​​\overrightarrow {C’A}\) đồng phẳng.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm của đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {SD} = 6\overrightarrow {SO} \)thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \).

C. Nếu ABCD là hình thang thì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + 2\overrightarrow {SD} = 6\overrightarrow {SO} \).

D. Nếu \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \) thì ABCD là hình bình hành.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có M, N, I lần lượt là trung điểm của AC, BD, MN, P là một điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k để \(\overrightarrow {IA} + \left( {2k – 1} \right)\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {kIC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).

A. k = 2.

B. k = 4.

C. k = 1.

D. k = 0.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là những số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

A. a + b + c = 3.

B. a + b + c = 4.

C. a + b + c = 2.

D. a + b + c = 1.