Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian – Chương 3 – Hình học 12

1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:

\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).

Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}=t\).

Hay \(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).

b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Nếu \(\Delta _1 //\Delta 2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\) thì \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\).
• Nếu \(\Delta _1\perp \Delta _2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\), \(\overrightarrow{u_2}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\) thì \(\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0.\)
• Nếu đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\vec u\), tồn tại hai vectơ \(\vec u_1\) và \(\vec u_2\) sao cho \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right.\) thì \(\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2} \right ]\) là một VTCP của \(\Delta\).
• Cho đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (P) sao cho: \(\bigg \lbrack \begin{matrix} \Delta \subset (P)\\ \Delta // (P) \end{matrix}\). Gọi \(\overrightarrow{u}\) là một VTCP \(\Delta\), \(\overrightarrow{n_P}\) là VTPT của (P) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_P}=0.\)
• Nếu \(A,B\in \Delta\) thì \(\overrightarrow{AB}\) là một VTCP của \(\Delta\).

2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:

• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).
• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\).

3. Góc giữa hai đường thẳng

• Trong không gian cho hai đường thẳng \(\Delta _1\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1)\), \(\Delta _2\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2)\)​, khi đó:

\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)

• Nhận xét:
  • ​\(0^0\leq (\Delta _1;\Delta _2)\leq 90^0\).
  • \(\Delta _1\perp \Delta _2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\).

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:

\(sin(\widehat{\Delta ;(P)})=\left | cos(\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}) \right |= \frac{\left | Aa+Bb+Cc \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

5. Các công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:

\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)

b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó:

\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M_{1 có một} VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M₂ có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:

\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)

Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó:

\(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)

 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).

b) d đi qua  A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.

c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d’:\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 – 3t \end{array} \right.\).

d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;1} \right).\)

Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;1} \right)\).

Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 – t\\ y = 2\\ z = – 3 + t \end{array} \right.\)

b) VTPT của \((\alpha)\)   là \(\vec n = (2; – 3; – 6).\)

Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.

Mặt khác d đi qua  A(-2;4;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 2 + 2t\\ y = 4 – 3t\\ z = 3 – 6t \end{array} \right.\)

c) VTCP của d’ là \(\overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).\)

Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u’} = (1;2; – 3).\)

Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = – 5 + 2t\\ z = 3 – 3t \end{array} \right.\)

d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; – 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; – 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( – 3; – 4; – 9).\)

Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)

Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 – 3t\\ y = 1 – 4t\\ z = 5 – 9t \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = – 3 + 2t\\ y = – 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d’:\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t’\\ y = – 1 – 4t’\\ z = 20 + t’ \end{array} \right.\).

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.\) và \(d’:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t’\\ y = – 1 + 2t’\\ z = 2 – 2t’ \end{array} \right.\).

Lời giải:

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\)

d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u’} = \left( {1; – 4;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { – 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ – 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; – 11} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 – 11.14 = 152 + 2 – 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {19;2; – 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Suy ra d và d’ cắt nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; – 1} \right).\)

d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u’} = \left( {2; 2;-2} \right).\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}\\ 2&{ – 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&1\\ { – 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u’} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; – 3; – 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Suy ra d và d’ song song với nhau.

Ví dụ 3:

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ y = t\\ z = – 1 – 2t \end{array} \right.;d’:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 – t’\\ y = 2 + 2t’\\ z = 3 – t \end{array} \right.\).

Lời giải:

d qua A(1;0;-1) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)

d’ qua B(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { – 1;2; – 1} \right).\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ – 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { – 1}&{ – 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { – 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { – 5;a – 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).

Nếu d cắt d’ khi:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a – 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} – 1 \ne 0\\ 2(a – 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)

Vậy a=0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4:

Tính các khoảng cách sau:

a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = – 1 – t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ‘:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 – 3t’\\ y = 2 + 3t’\\ z = 3t’ \end{array} \right.\quad \left( {t,t’ \in R} \right)\).

Lời giải:

a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; – 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; – 2;0} \right). \end{array}\)

Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

b) Đường thẳng \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; – 1;0} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta’\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u’} = \left( { – 3;3;3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; – 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u’} \right] = \left( { – 3; – 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u’} \right].\overrightarrow {AB} = – 12. \end{array}\)

Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { – 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\)

Ví dụ 5:

a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\)  và \((d’):\frac{{x – 2}}{{ – 1}} + \frac{{y – 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)

b) Tìm m để đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 – 2t\\ z = 1 – t \end{array} \right.\) và \((d’):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + (m – 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo với nhau một góc 60⁰.

Lời giải:

a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)

VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( { – 1;3;2} \right).\)

Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:

\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( – 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( – 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15′ \end{array}\)

b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; – 2; – 1} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( {m;m – 2;1} \right)\)

(d) và (d’) tạo với nhau một góc 60⁰ nên:

\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 – \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 6:

Tìm m để  đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = (m – 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x – 2y – z + 1 = 0\) tạo thành góc 30⁰.

Lời giải:

d có VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m – 2,1).\)

(P) có VTPT: \(\overrightarrow n = (2; – 2; – 1).\)

d và (P) tạo với nhau một góc 30⁰ nên:

\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} – 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} – 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)

Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{2}\) là các giá trị cần tìm.