• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 1. Giới hạn của dãy số – Chương 4 – Đại số 11

Bài 1. Giới hạn của dãy số – Chương 4 – Đại số 11

Đăng ngày: 06/12/2019 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11

Mục lục:

  1. 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
  2. 2. Một số định lí về giới hạn
  3. 3. Tổng của CSN lùi vô hạn
  4. 4. Giới hạn vô cực
  5. Bài tập minh họa

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Định nghĩa

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} – a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c\)

Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\).

2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:

\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)                                                                             \( \bullet \)\(\lim ({u_n} – {v_n}) = a – b\)

\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)                      \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \)

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng

\(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + ….\) gọi là tổng vô hạn của CSN và

\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\).

4. Giới hạn vô cực

a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty  \Leftrightarrow \) với mỗi số dương  tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn  số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  – \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { – {u_n}} \right) =  + \infty \).

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} =  + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} =  + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

        \(\lim {u_n}\)       \(\lim {v_n}\)     \(\lim ({u_n}{v_n})\)
        \( + \infty \)\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

        \( + \infty \)\( – \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

      \( + \infty \)\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
        \(\lim {u_n}\)   Dấu của \(l\) \(\lim ({u_n}{v_n})\)
\( + \infty \)\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = l\),\(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào dó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được coi như sau:
Dấu của \(l\) Dấu của \({v_n}\) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)
\( + \infty \)\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Bài tập minh họa

Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}} = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}\).

 

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có  \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3\)

 

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right) – \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} – n} \right)\)

\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} – \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1}} – \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 5:

Tìm  giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 – \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).

Tag với:Học chương 4 đại số 11

Bài liên quan:

  • Ôn tập Chương 4 – Đại số 11
  • Bài 3. Hàm số liên tục – Chương 4 – Đại số 11
  • Bài 2. Giới hạn của hàm số – Chương 4 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.