📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; -2; 3)$, $B(2; 0; -1)$ và $C(-1; 4; 2)$. Điểm $M(a; b; c)$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $T = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của tổng $a + b + c$ bằng:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức độ dài tổng các vectơ dạng $T = |\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC}|$ (với $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$), ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định điểm $I$ thỏa mãn $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC} = \vec{0}$. Đặc biệt khi $\alpha = \beta = \gamma = 1$, $I$ chính là trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.
- Bước 2: Chèn điểm $I$ vào biểu thức vectơ: $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} = (\alpha + \beta + \gamma)\overrightarrow{MI}$. Khi đó $T = |\alpha + \beta + \gamma| \cdot MI$.
- Bước 3: $T$ nhỏ nhất khi và chỉ khi đoạn $MI$ ngắn nhất. Vì $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ nên $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(Oxz)$. Hình chiếu của điểm $I(x_0; y_0; z_0)$ lên $(Oxz)$ là $M(x_0; 0; z_0)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tọa độ của điểm $G$ là:
$$x_G = \frac{1 + 2 + (-1)}{3} = \frac{2}{3}; \quad y_G = \frac{-2 + 0 + 4}{3} = \frac{2}{3}; \quad z_G = \frac{3 + (-1) + 2}{3} = \frac{4}{3}$$
Suy ra $G\left(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right)$.
Theo tính chất trọng tâm tam giác, với mọi điểm $M$ ta luôn có:
$$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$$
Do đó: $T = |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |3\overrightarrow{MG}| = 3MG$.
Biểu thức $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MG$ nhỏ nhất. Vì $M \in (Oxz)$ nên $MG$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $(Oxz)$.
Vì $G\left(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right)$ nên hình chiếu vuông góc của $G$ lên $(Oxz)$ là điểm $M\left(\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3}\right)$.
Suy ra $a = \frac{2}{3}$, $b = 0$, $c = \frac{4}{3}$.
Vậy tổng $a + b + c = \frac{2}{3} + 0 + \frac{4}{3} = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; -1; 3)$, $B(4; 1; -1)$ và $C(0; 3; 1)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $\overrightarrow{AB} = (4 – 2; 1 – (-1); -1 – 3) = (2; 2; -4)$.
Gọi $D(x; y; z)$, ta có $\overrightarrow{DC} = (-x; 3 – y; 1 – z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases} -x = 2 \\ 3 – y = 2 \\ 1 – z = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \\ z = 5 \end{cases}$.
Vậy $D(-2; 1; 5)$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; -1; 3)$ và $C(-4; 7; 5)$. Điểm $M$ thuộc trục $Oy$ sao cho $T = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tìm điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} – \overrightarrow{IC} = \vec{0}$. Tọa độ điểm $I$ là:
$$x_I = \frac{1 + 2\cdot 2 – (-4)}{1 + 2 – 1} = \frac{9}{2}; \quad y_I = \frac{2 + 2\cdot(-1) – 7}{2} = -\frac{7}{2}; \quad z_I = \frac{-1 + 2\cdot 3 – 5}{2} = 0$$
Khi đó $\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}$, suy ra $T = 2MI$.
$T$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất. Vì $M \in Oy$ nên $M$ là hình chiếu vuông góc của $I\left(\frac{9}{2}; -\frac{7}{2}; 0\right)$ lên trục $Oy$, suy ra $M\left(0; -\frac{7}{2}; 0\right)$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và $\vec{v} = (-1; 1; 0)$. Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1\cdot(-1) + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = -1$.
Độ dài các vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ và $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.
Suy ra $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$.
Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng $120^\circ$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 4: Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0; 2)$, $B(2; 1; -1)$ và $C(0; 3; 2)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = MA^2 + MB^2 + MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $
Để lại phản hồi