Một xe đua bắt đầu tăng tốc sau khúc cua, quãng đường đi được sau $t$ giây là $s(t) = \frac{1}{3}t^3 – 2t^2 + 20t$ ($0 \le t \le 10$). Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm gia tốc đạt $8\text{ m/s}^2$

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Một chiếc xe đua bắt đầu tăng tốc sau khi vượt qua một khúc cua hiểm trở. Trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc, quãng đường xe đi được (tính bằng mét) sau $t$ giây ($0 \le t \le 10$) được mô hình hóa bởi hàm số: $$s(t) = \frac{1}{3}t^3 – 2t^2 + 20t$$ Biết rằng vận tốc tức thời là đạo hàm bậc nhất của quãng đường và gia tốc tức thời là đạo hàm bậc nhất của vận tốc. Tính vận tốc tức thời của chiếc xe đua (theo đơn vị $\text{m/s}$) tại thời điểm gia tốc của xe đạt $8\text{ m/s}^2$.

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Trong chương trình môn Toán 12 về ứng dụng đạo hàm vào bài toán chuyển động, mối liên hệ giữa các đại lượng động học được xác định như sau:

• Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$, là đạo hàm bậc nhất của hàm quãng đường theo thời gian.
• Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = s”(t)$, là đạo hàm bậc nhất của vận tốc hoặc đạo hàm bậc hai của quãng đường.
• Các bước giải bài toán:
  1. Lấy đạo hàm bậc nhất $s'(t)$ để xác định biểu thức vận tốc $v(t)$.
  2. Lấy đạo hàm của $v(t)$ để xác định biểu thức gia tốc $a(t)$.
  3. Thiết lập phương trình $a(t) = 8$ để giải tìm thời điểm $t$ tương ứng (lưu ý kiểm tra điều kiện của biến $t$).
  4. Thay giá trị $t$ vừa tìm được vào biểu thức $v(t)$ để tính giá trị vận tốc tức thời cần tìm.

Tương tự như bài toán cực trị khoảng cách giữa hai xe ô tô chuyển động vuông góc, việc thiết lập chính xác các hàm số phụ thuộc thời gian $t$ là chìa khóa để giải quyết triệt để các bài toán thực tiễn.