Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 15t$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong quá trình chuyển động bằng bao nhiêu mét trên giây?

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 15t$, trong đó $t$ (tính bằng giây, $t \ge 0$) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (tính bằng mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong quá trình chuyển động bằng bao nhiêu mét trên giây ($\text{m/s}$)?

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Trong chuyển động thẳng, mối quan hệ giữa hàm quãng đường $s(t)$, vận tốc tức thời $v(t)$ và gia tốc tức thời $a(t)$ được biểu diễn bằng đạo hàm:

• Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$: $v(t) = s'(t)$.
• Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$: $a(t) = v'(t) = s”(t)$.
• Để tìm vận tốc lớn nhất, ta khảo sát hàm số vận tốc $v(t)$ trên miền xác định $t \ge 0$, tìm điểm dừng $v'(t) = 0$ (tức gia tốc triệt tiêu $a(t) = 0$), lập bảng biến thiên hoặc sử dụng tính chất của tam thức bậc hai / đỉnh parabol.

Tương tự như việc khảo sát thể tích lớn nhất trong bài toán tối ưu thể tích khối hộp, bài toán cực trị vận tốc là một ứng dụng rất đặc sắc của đạo hàm trong chương trình Toán 12.