Một cơ sở sản xuất muốn thiết kế một thùng chứa hình trụ có nắp với dung tích $54\pi\text{ dm}^3$. Để tiết kiệm chi phí vật liệu, diện tích toàn phần của thùng phải nhỏ nhất. Bán kính đáy của thùng bằng bao nhiêu đề-xi-mét?

Gọi $r$ ($r > 0$) và $h$ ($h > 0$) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của chiếc thùng hình trụ (tính theo đơn vị $\text{dm}$).

Thể tích của chiếc thùng hình trụ là: $$V = \pi r^2 h = 54\pi \implies h = \frac{54}{r^2}$$

Diện tích toàn phần của chiếc thùng (gồm diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy) là: $$S_{tp} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{54}{r^2} = 2\pi \left(r^2 + \frac{54}{r}\right)$$

Cách 1: Khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Xét hàm số $f(r) = r^2 + \frac{54}{r}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Ta có đạo hàm: $$f'(r) = 2r – \frac{54}{r^2} = \frac{2r^3 – 54}{r^2}$$

Cho $f'(r) = 0 \iff 2r^3 – 54 = 0 \iff r^3 = 27 \iff r = 3$ (nhận vì $r > 0$).

Bảng xét dấu đạo hàm:

• Với $0 < r < 3$: $f'(r) < 0$, hàm số nghịch biến.
• Với $r > 3$: $f'(r) > 0$, hàm số đồng biến.

Do đó, $f(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r = 3$. Kéo theo diện tích toàn phần $S_{tp}$ nhỏ nhất khi bán kính đáy bằng $3\text{ dm}$.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)

Ta tách biểu thức: $$r^2 + \frac{54}{r} = r^2 + \frac{27}{r} + \frac{27}{r} \ge 3\sqrt[3]{r^2 \cdot \frac{27}{r} \cdot \frac{27}{r}} = 3\sqrt[3]{27^2} = 27$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $$r^2 = \frac{27}{r} \iff r^3 = 27 \iff r = 3$$

👉 Đáp số (kết quả điền số): 3